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尺规角三等分与垂足弧弦切分角

发表时间：2021/6/16 来源：《现代中小学教育》2021年6月作者：冯国义

[导读] 我发明的用无刻度直尺和圆规，可以对任意角进行任意等份的平分方法。破解了2500年前由古希腊人提出来的，用尺规作图三等分角无解的世界难题。

创作者：冯国义

        我发明的用无刻度直尺和圆规，可以对任意角进行任意等份的平分方法。破解了2500年前由古希腊人提出来的，用尺规作图三等分角无解的世界难题。
        两千五百年来，无数先人对尺规作图三等分角不断的研究，或画图或演算都没能给予答案，被公认为无解题。十九世纪法国数学家皮埃尔·旺策尔就曾宣布尺规作图三等分角无解。我国著名数学家华罗庚曾说过：“用圆规直尺三等分任意角就如同步行上月球一样，是不可能的”。然而，我经数年攻关研究，终于在1995年11月13日为这个世界难题划上了句号。非但对任意角三等份，可以五等份，七等份及任意等份的平分。
        用我发明的垂足弧弦切分任意角方法，就可以做出任何一个度数的角。而不用解析几何，函数计算，免除用弧长公式计算查表画图的麻烦。这一方法定会给工业生产、科研、教学的角平分方面带来方便利好。
        第一部分垂足弧弦切分分角方法的做法
        1、用一个无刻度直尺和圆规和画图用纸，首先在纸面上画两条交叉的直线，相交于一点0。
        2、用圆规设一任意长，以0点为圆心在任意角上划弧相交于任意角的两条边线上A点和B点，形成任意角上的弧叫单位弧，所设半径叫单位半径。
        3、用直线连接AB两点，形成AB弧上的弦叫单位弦。
        4、用圆规以单位半径为单位，在任意角B侧边线上，向0到B从B点向远方再截切二段单位半径长。交于0B一侧任意角边线上一点B1。
        5、用圆规以0点为圆心，以0B1为半径，从B1向0A一侧边线划弧交于0A一侧边线上一点A1，形成A1B1弧叫任意角分角原始弧。
        6、从B1点起，以AB弦长为单位用圆规在A1B1弧上截切三段，形成1.2.3点，有余弧没有分完，把余弧分为平分的两份。中点用E表示。
        7、以A1E为半径，以A1点为中心划圆交于0A1边线上，0A1之间一点称E点，把E点转移到A0边线上交于一点0EB2，叫垂足。
        8、用圆规以0点为圆心，以0E长为半径向任意角0B1一侧边线上划弧，交于0B1之间一点为B2。形成EB2弧叫垂足弧。如图四。
        9、用单位弧长AB为单位，在垂足弧上裁切三段正好分完，余弧为零。在垂足弧上形成两个截点a点和b点，正好平分了垂足弧。如图四所示。
        10、用直线分别连接0a、0b使任意角被分成3个圆心角。＜E0a、＜a0b、＜b0B2。分割了任意角E0B2
        11、用直线连接Ea、ab、bB2，使在任意角中形成三个三角形。
        第二部分证明被平分得的E0a角等于a0b角，也等于b0B2角，
        这三个角相等。
        求证：＜E0a=＜a0b=＜b0B2。
        证明：一、用圆心角性质定理证明
        在任意角E0B2的垂足弧上，垂足弧EB2被单位弦AB固定长所分割。使Ea弧长等于ab弧长也等于bB2弧长。形成同一个弧上的三个相等的分弧。Ea=ab=bB2。
        根据同心圆上的圆心角性质定理，同心圆上的等长弧所对的圆心角相等。
        所以，＜E0a=＜a0b=＜b0B2。由此证明了垂足弧弦切分任意角分角方法是正确的。
        第二种证明方法：用三角形相似全等的三角形性质定理证明同位角相等的方法来证明＜E0a=＜a0b=＜b0B2来确定垂足弧弦切分分得的三个分角大小相等。
        求证：＜E0a=＜a0b=＜b0B2
        证明：在E0B2垂足弧上由于用定长AB弦裁切而形成a、b两切点。用直线连接0a、0b形成以0E、0a、bB2同心圆弧上E0B2任意角中的四个等长半径，形成了＜E0a、＜a0b、＜b0B2的三个分角，分割了E0B2任意角。

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        再用直线分别连接Ea、ab、bB2，形成＜E0a、＜a0b、＜b0B2这三个分角上的等长分弧上的弦，同时也就形成了三个三角形△E0a、△a0b、△b0B2。
        在△E0a和△a0b中Ea=ab长，是定长AB单位弦所截取的两条边，所以长相等。
        0E=0a=0b，0E=0b，0a是△E0a和△a0b的共同边。0E=0a=0b是两三角形的三条边，也是等长半径。所以长相等。
        在△E0a和△a0b中三条相对应的边长分别对应相等。
        根据三角形相似全等定理这两个三角形相似全等，△E0a≌△a0b，由于两个三角形全等所以这两个三角形相对应的同位角也相等。
        ∴＜EOa=＜aOb。
        又在△a0b和△b0B2中，ab=bB2。
        0b是△a0b和△b0B2的共用边，0a、0b、0B2是两三角形的边也是同心弧内等长半径。这两个三角形的三条相对应的边长相等。根据三角形相似全等定理，△a0b≌△b0B2，这两个三角形相似全等。两三角形相似全等它们的同位角也相等。
        ∴＜a0b=＜b0B2。
        又∵＜E0a=＜a0b，＜a0b=＜b0B2。
        ∴＜E0a=＜b0B2。
        ∴＜E0a=＜a0b=＜b0B2。被平分得的三个角相等。
        定理：由此证明了垂足弧弦切分任意角分角方法是正确的。综上所述，有定理为：
        “被平分的任意角的一份角等于单位弦在垂足弧上裁切的弧（弦）所对的圆心角，被平分的任意角的份数，等于单位半径被利用的个数”。
        这就是我发明的无刻度直尺和圆规对任意角进行任意平分的分角定理和分角方法。
        此方法可对任意角想分多少份就分多少份，没有角度度数的限制，无需函数解析几何计算弧长公式计算查表再画角的烦恼。
        一次最大分角须在平角三分之二以内进行，如遇大角分开做，遇小角所分份多的可增加半径长度使分弦变大便于分割。
        把小于圆一部分的角分7份的作图法
        先把整体分成4份，把其中1份分成7份，再在垂足弧延长弧中去分，每4份加一起就得到了7份。
        还可以求任意的角度。
        用弦切分分得的1—10度角的垂足弧上的弦长量取任意角同等长半径上的弦长，便获得任意角度数的大小是多少度的角。
        第三部分垂足弧弦切分角方法应用
        无刻度直尺和圆规作360度之内任意度数角的方法，用圆规以任
        意长或按要求的定长为半径，三个半径分别相交，用直线连接三个交点便得到一个每个内角都是60度的全等三角形。
        做一个顶点角到所对的边的垂直平分线，就得到了两个相邻的30度和两不相邻的60度角和两个相邻的90度直角三角形。
        用垂足弧弦切分分角方法把30度角分成6份，每份角角度是5度
        把30度角用垂足弧弦切分分角方法分成5份，每份角角度是6度。
        把1度装入5度角之中就得到了4度角，使B2的2与角度数混淆，免于不清楚。角的度数用E字母表示，几度就写E几度，如E2、E5、W32等表示。
        把4度角平分为2个就得到了2度角。
        以此类推，用此方法可以作任何角。