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函数思想在高中数学解题中的应用

发表时间：2021/6/16 来源：《现代中小学教育》2021年6月作者：贺江梅

[导读] 伴随着高中数学教育教学体制改革的深入进行，对于学生的综合能力和综合素养的培育也在有条不紊地进行。一些数学教师在高中数学教学活动中运用新的教学策略和教学思想，对学生提高学习数学能力和培养思维习惯都产生了重要影响，并且函数思想在高中数学解题过程中有着重要的运用价值，可以帮助学生尽快突破难题的束缚，熟练掌握一些知识点，而在此过程中就需要学生对于函数思想以及不同类型函数的运用方式进行深入的了解。

重庆市云阳江口中学校贺江梅

摘要：伴随着高中数学教育教学体制改革的深入进行，对于学生的综合能力和综合素养的培育也在有条不紊地进行。一些数学教师在高中数学教学活动中运用新的教学策略和教学思想，对学生提高学习数学能力和培养思维习惯都产生了重要影响，并且函数思想在高中数学解题过程中有着重要的运用价值，可以帮助学生尽快突破难题的束缚，熟练掌握一些知识点，而在此过程中就需要学生对于函数思想以及不同类型函数的运用方式进行深入的了解。因此，我们针对函数思想在高中数学解题中的运用进行具体的讨论。
关键词：函数思想；高中数学；解题；运用过程
        函数是高中阶段数学知识的一项重要板块，在生活形态中属于量与量之间的变换，能够为其它知识学习提供向导作用。为此，利用函数思想优化学生解题过程，提高解题能力，不仅是实现函数思想渗透的一种关键途径，更是高中数学教学的一大特色与魅力。
        一、函数思想相关分析
        函数是数学的基本概念，是函数思想发展的基础。因此，教师在应用函数思想辅助解题时，必须充分了解函数有关定义及性质，具体包括周期函数、单调递增/递减函数、奇/偶函数、一次函数、二次函数、指数函数(如图1)、对数函数(如图2)等，在此基础上体会函数思想。

        在高中数学中，许多知识中都体现了函数思想，包括方程、不等式、线性规划、随机变量、算法等，可谓是无处不在。在解题教学中，教师要注重分析不同知识与函数之间的关系，寻求函数思想运用的切入点。
        二、函数思想在高中数学解题中的运用过程
        1.引用函数单调性，求解不等式问题
        函数与不等式属于两个性质完全不同的知识结构，在高中数学教学中，它们却有着密切的联系。不等式性质很大程度上反映了函数单调性。因此，在解题教学中，教师可以利用函数思想引导学生用函数的观点审视不等式，更好地把握不等式本质特征。为此，在笔者看来，不等式中最值与恒成立问题是函数思想渗透的切入点。相关例题如下：

        2.引入函数解析式，求解数列问题
        高中阶段学习的等比、等差数列本就是一类自变量为正整数的特殊函数，与函数思想有着密切的联系，不同的数列问题中无形中会隐藏着函数的某种特征。利用函数思想求解数列问题也是历年高考中的重点考题。利用函数思想求解数列问题的途径有很多，比如求解等差数列前n项和的最值问题时，可以将Sn看做关于n的二次函数，运用配方法，引入函数单调性知识解决问题。为了从“形”上帮助学生充分认识函数思想与数列知识之间的关系，本节以函数解析式的运用为例，分析相关数列问题的求解。
        例2已知a1=1，a2=a3=a4=0，求数列{an}的通项公式。
        从函数思想角度分析来看，数列{an}与n之间存在着某种函数关系，可以将an看做f(n)，列出函数解析式：f(n)=0(即an=0)，此时n是f(n)=0的根，也可以称作零点。原问题的求解过程就可以设出an的表达式：an=k(n-2)(n-3)(n-4)，根据已知条件:a1=1，运用待定系数法，求出k的值为从而得出数列{an}的通项公式。
        3.引入函数与方程联系，求解零点问题
        函数思想是处理“数学型”问题的一种思维方法，描述的是现实生活中数量之间的变化关系。在问题解决中，从实际情境中建立对应函数模型，运用函数基本知识，实现问题的解决。方程类知识在教学中也孕育了函数思想，它的本质在于研究问题在运动中的等价关系，一般情况下习惯首先明确给出的未知量与已知量之间关系，通过构建方程或方程组，由未知量推导出已知量。虽然两者看起来本质不同，但在实际操作中常常互相渗透，函数间的关系与方程之间可以互相转换。
        例3已知函数f(x)=xlnx-ax²-x(a∈R)，讨论函数f(x)的零点情况。
        通过审题发现，函数f(x)并不是所熟悉的函数模型，解析式包括对数、幂函数，此时需要首先确定函数定义域x∈(0，+)。接下来引导学生对原函数进行变形，变为f(x)=x(lnx-ax-1)(a∈R)，同时用g(x)表示“lnx-ax-1”，二次变形为f(x)=xg(x)。因为x≠0，因此对函数f(x)零点的讨论可以转为对函数g(x)零点情况的讨论。解题过程进行到这一步时，引入函数思想中与方程之间的联系，将对g(x)零点的讨论等价转化为讨论方程lnx-ax-1=0的根的情况。但方程仍然不是我们熟悉的方程，此时可以重新从函数角度进行审视，将方程转化为的形式，求解交点横坐标，从而得出原函数f(x)的零点情况。
        综上所述，函数思想在高中解题过程中的运用，不仅展现了函数知识与其它板块知识之间的联系，还为解题提供了新思路，有利于培养学生创新意识，提高解题能力。为此教师要重视函数思想的渗透，优化解题过程。
参考文献：
[1]杜云涛.探究分析用函数思想指导高中数学解题[J].学周刊，2017(23)：21-22.