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“小专题”下的乘法公式复习课的教学与思考

发表时间：2021/6/18 来源：《中国教师》2021年7月下作者：陆周娜

[导读]

陆周娜宁波滨海学校浙江宁波 315700
【摘要】笔者在执教浙教版数学七年级下册第三章乘法公式复习课的过程中，用“小专题”教学方法成功设计了一节教学评一致的课堂教学，实现预设目标，体现了数学核心思想。在“小专题”教学模式探究中发现：小专题不是对所学知识的简单重复，而是对学生认知水平的深化和提升。立足学生来构建小专题，从小入手，以小见大，在问题探究中整合零散的知识点，会加深学生对数学的内在知识体系构建，从而促进学生有效学习，提升课堂效率，最终为学生的数学学科核心素养的形成添砖加瓦。
【关键词】小专题，乘法公式，复习，知识体系
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2021）7-217-02

        在平时数学教学中，章节复习和专题复习是常见的复习形式，但大部分教师在应用过程中都发现有些章节知识点多、细，例如有理数的运算、整式的乘除、圆的基本性质等，若是面面俱到的点到，复习的深度肯定不够；有些知识点比较重要或者理解有一定的难度，例如乘法公式、勾股定理、三角形的中位线等，这些情况均适合设计一节章节关联的小专题复习课。小专题教学的鲜明特征是“小”且“专”，其中“小”代表小现象、小错误、小问题，而“专”则代表了某一个知识点或存在于某个知识点中的细节。笔者认为小专题复习在知识上，要明确主体，突出重点；在方法上，应注重串联，凸显方法.在简单题中促进学生思维提升,在拓展题中促进学生认知策略迁移，在过程中渗透数学思想方法，培养数学学科素养.下面以“乘法公式的复习课”为例，谈谈小专题视角下的复习课教学与思考。
        1.“乘法公式”复习课教学流程
        1.1教学环节（一）开放问题，唤醒旧知
        问题1:（x+）(x+)你能在横线处填上合适的内容并计算结果吗？
        教学组织：教师出示问题之后，学生充分尝试并在小组内交流，然后推荐学生分享结果并补充.在此基础上引导学生小结并板书：（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab.特殊化为a、b互为相反数或相等，引出平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2和完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，并让学生体会其与乘法公式（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab的联系。
        问题2：在上述乘法公式中，a、b一定就是一个字母吗？
        生：不一定，还可以表示数，复杂单项式，以及多项式。
        师：鉴于字母a，b具有广泛意义，请同学们尝试写3个能用乘法公式计算的式子，交给同桌完成并互批。
        设计意图：让学生充分理解字母a，b具有广泛意义，并充当小老师的角色出题批改，活跃课堂气氛.同时与接下来的问题3良好衔接，教师可在学生提供的式子中选取需要的题目，立足学生的认知水平，让课堂与学生平等对话。
        1.2教学环节（二）基础练习，数形结合
        问题3:运用乘法公式计算
        （1）101×99；（2）（a+b）2-(a-b)2；
        教学组织：先安排学生思考计算，再由出题的同学上台讲解方法，讲评时从多角度分析解决方法，比如把a+b，a-b分别看成一个整体，运用平方差公式进行计算，或者先后运用完全平方公式进行计算，让学生开拓解题思路，学会多角度分析和解决问题。
        问题4:我们从运算角度可证明（a+b）2-(a-b)2=4ab这个等式成立，能否利用图形面积关系说明呢？
        教学组织：安排学生从形的角度来理解（a+b）2-(a-b)2=4ab，如图1，将一个边长为a-b的正方形，边长增加至a+b，那么两个正方形的面积差分别是多少？与（a+b）2-(a-b)2=4ab有何联系？如图2，将图1中的阴影部分割补成一个长方形，面积为多少？与（a+b）2-(a-b)2=4ab又有何联系？
        图1
        图2
        设计意图：利用图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证等式（a+b）2-(a-b)2=4ab成立，渗透数形结合思想，让学生体会代数与几何之间的内在联系。

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        1.3.教学环节（三）变式练习，拓展应用
        问题5（变式1）：已知a+b=1+，ab=
        （1）求a-b和a2+b2的值；
        （2）求（a+b）2-2(a+b)-3的值.
        教学组织：通过问题5的解决，引导学生整理出(a+b)2，（a-b）2和a2+b2三个代数式之间的关系，并能运用完全平方式的派生关系解决相关问题.第（2）问注意让学生体会整体思想，把a+b看作一个整体，逆用完全平方公式可求得结果，让学生理解优化的算法追求。
        结合（a+b）2-(a-b)2=4ab的计算过程，引导学生梳理出几个数和的平方差公式（a+b）2-(c+d)2=(a+b+c+d)(a+b-c-d)
        问题6（变式2）：计算
        (1)（a+b+c）2；（2）（2x+3y-z）2
        教学组织：在已有推出平方差公式的拓展形式的经验基础上，引导学生整理出完全平方公式的拓展形式，（a+b+c）2= a2+b2+c2=2ab+2bc+2ac，并继续安排学生练习（2x+3y-z）2，同时引导学生用文字语言表述：几个数和的平方等于这几个数的平方和加上任意两数乘积的两倍.符号表述和文字表述是数学表述的不同形式，对知识运用不同形式的数学语言进行表述，从不同的角度对知识进行剖析，可以让抽象、内隐的知识在多元化的表述中变得具体、外显。
        问题7（变式3）：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=667，求代数式（a-b）2+（a-b）2+（a-b）2的值。
        教学组织：在总结出完全平方式的拓展形式的基础上，引导学生分析问题的条件，一部分学生能发现条件与完全平方式的拓展形式的关系，从而找到解决问题的突破口.讲评时可安排学生讲述他们对题目的理解和思考过程，这样既可以让学生的思维外显，也有利于提高学生学习的兴趣和信心，增强学生学习的内驱力。
        2.小专题复习课的教学思考
        2.1明确主体，串联知识
        理解数学是数学课堂教学“预设”的前提，也是数学课堂教学“生成”的关键.以乘法公式复习课为例，若是先复习平方差公式，再复习完全平方公式，只把它们看成两种具有特殊结构的多项式相乘，这样并没有把几种乘法公式之间的逻辑联系、一般到特殊的关系解释清楚.本案例在引入时以开放题的形式，让学生充分尝试、交流、补充，从而发现平方差公式和完全平方公式与（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab的内在关系。
        2.2注重基础，发展思维
        数学复习课需要把学生的需求放在第一位，既不能任意拔高教学起点，也不能随意降低教学要求.要做到“以学定教，教学相长”就要立足学生的基本学情.在本课例中，引入的问题1源自教材中作业题的改编，是学生比较熟悉的习题类型，从而让学生带着自信进入课堂.基础练习中的习题101×99，（a+b）2-(a-b)2，是学生出题互批环节中生成的题目，以学生真实的认知水平为起点，这是数学教学活动顺利开展的基础。
        2.3变式拓展，认知迁移
        美国著名数学教育家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”在本课例中，以（a+b）2-(a-b)2=4ab为核心，选取“已知a+b，ab，求a-b的值→求（a+b）2-2(a+b)-3的值→探求平方差公式的拓展形式→探求完全平方公式的拓展形式→应用乘法公式的拓展形式”这样一条变式拓展的学习路径，问题设置层层递进，帮助学生形成思维自然，思维必然。
        2.4渗透思想，提升素养
        数学是思维的学科.数学教学一定要注重思想方法的渗透，复习课亦是如此.小专题复习课中，要关注数学思想方法的提炼与培养，把数学能力的提升贯穿于课堂始终，通过合理的数学活动帮助学生构建知识体系，发展“四基”，提高“四能”，让学生自然地接受、理解、感悟数学思想方法，进一步提升数学核心素养。
        问题4通过图形面积关系说明等式（a+b）2-(a-b)2=4ab成立，让学生体会到几何与代数之间的内在联系，感悟数形结合思想.问题5的第（2）题着重要学生体会整体思想，感受有了整体思维的意识，能使复杂问题简单化，优化解题过程.问题6中要求3个数和的平方，需要将其中两个数当做整体，再转化为两数和的平方，感悟整体思想、化归思想.同时，问题6得出了完全平方式的拓展形式，使学生的思维从狭窄思维向广阔思维升华，达到培养能力、提升数学素养的目的。
参考文献
[1]周伟星.基于“整体观”的乘法公式教学与思考——以“完全平方公式”新授课教学为例[J].中学数学，2020（2）
[2]朱月凤.教材重组开放教学，知识结构渐次生成——李庚南老师“乘法公式”课例赏析[J].中学数学（下），2018（12）