范英丽
江苏省南京第二十九中学 江苏 南京 210009
摘要：文章通过实验的方法，将高一数学当成案例，对高一数学教育中反例的主要用处进行了分析，通过有效使用来加强学生对数学概念的了解，促进学生进一步学习数学知识，推动学生创新思维与创造力的发展。
关键词：反例；实验研究；高中数学
引言：新课改下，根据有关标准的颁发和要求，我们有必要仔细探讨反例对于高中数学教育的影响，通过采用不同的教学策略来开展实验班和对照班的教育，不断引起数学教师对反例的注重，促进数学教育的改革。
一、研究方法
⒈研究目标
江苏省某一学校的高一一班总共有34人，其中男生19、女生15人，是学校实验班；而高一二班则为对照班，班级总共31人，其中男生17人，女生14人；两个班级总共65人。这些学生以前都没有参加过培训，也没有自学过教材的内容，他们在初中时对函数有相同的认识，基本知识也相同。大多数学生在初中时期都在同一所学校学习，并且这些学生没有预习课本的习惯，也不会对课本知识提前学习。
⒉研究要求
在一个学期的时间里，采取自己编写的教案，基本完成了教育部《普通高中数学课程标准（实验）》规定中提出的高中数学必修1教学任务，学生掌握并能够应用学习的同级及以上的教学内容。其主要要求为：⑴进一步了解概念，辨别概念；⑵可以正确了解与使用定理、法则、公式；⑶能运用反例找出数学问题中的漏洞；⑷采取反例来处理选择与判断题。
⒊处理技术
在处理实验数据时，通常采取SPSS软件实施统计。
二、实验方法
⒈实验前的测试
在学期开始前，对实验班与对照班的学生实施了测试。入学试卷当作预试试卷，这一试卷的主要特征是对高中学生进入以前的基础数学水平前的综合考察。
⒉教学中采取的措施
⑴在教学中正确采用反例加强对概念定理的了解。
首先，“集合的含义及其表征”教学片段。教师在讲解集合含义以及它的元素特征时，应该为学生列举一些正确的案例。
其次，“函数的概念”教学片段。有些学生单纯以为：“一个变量伴随另一变量的变化而改变，它们之间的关系即为函数关系。”为改正这项问题，在研究中教师可提出以下反例：人的体重随年龄而变化。经过讨论，学生可以发现，技术人的体重与身高有一定联系，然而，其不仅仅是由年龄决定的，因此，一个人的体重和年龄变化的联系并非函数关系。在学习“函数的表示法”以后，为加强学生对“如果x的每一个值y都有一个唯一对应的值”函数概念的了解，在教学中使用各种选择题来帮助学生理解。
最后，“函数奇偶性”教学片段。在学习偶函数的定义并为学生提供正面例子后，教师反复强调在偶函数的定义中不能忽视“定义域内”与“任意”，不然就不是偶函数，然后给出下面的例子。
例子：确定以下函数是否为偶函数。
①f(x)=x2+；②f(x)=x2+2x；③f(x)=。
分析：①是，结合定义；②不是，尽管定义域关于原点是对称的，但是f(x)≠f(-x)；③不是，定义域不关于原点对称。最后，师生得出结论，偶函数应该同时满足“定义域必须关于原点对称”和“如果定义域中取任意点x，f(x)=f(-x)”。
⑵利用反例帮助学生学习全面获取知识的方法。
在教学中，教师实施采取反例教学法，实施过程如下：①选编反例。教师根据原则选取和安排实施，并符合客观实际。②呈现反例。在学习完一个单元或章节的基础知识后，再展示这些反例。演示方法是打印一个书面反例给每个学生，并使用多媒体技术来演示反例。③分析反例。每个学生可以对同一个反例表达不同的观点。教师应指导学生发现和揭示反例的本质错误。反例分析的关键是学生和教师共同努力，将反例的内容和对于的一个或几个知识点联系起来。④评价反例。找出学生在反例分析中的问题与扣动，并进行补充。
⑶利用反例来解答教学中的反例题目。
⒊试验后的测试
新课全部讲授完后，实验班和对照班的后测均采用自行设计的试卷，具体结果如表⑴
表⑴后测卷的维度
三、结果和分析
⒈前测试卷的结果和分析
通过分析实验前的试卷数据可知，即使实验班的成绩（M=35.68，SD=11.98）稍微低于对照班的成（M=37.00，SD=12.47），但独立样本t检验结果显示，实验前实验班与控制班之间没有明显差异，t（63）=-0.436，p=0.665。这充分说明实验前实验班与对照班的基础水平相当，进一步证实了实验的开始是造成后期教学效果提升的原因，具体情况如表⑵
表⑵前测试卷实验班和对照班的总成绩
⒉后测试卷的结果和分析
实验结束后，按照实验要求，对实验班与对照班实施了全面调查。结果：下:
⑴反例对概念理解的影响
后测试卷的问题1、2、3主要测试反例对数学概念理解的影响。问题1经过让学生识别集合的正面和负面例子，帮助学生了解到“集合须满足确定性”。A是“开朗的”，B是“接近1”，D是“高个子”，这几个答案模枝两可，无法确定，这些例子都并非集合；问题2是辨别函数相等的正反例子，加强学生对函数相等的认识，也就是函数相等要求相同的定义域和规则；问题3要求学生掌握指数函数的定义。在教学集合、函数相等、指数函数教学中，实验课上，教师不但要利用正例深入阐明其本质属性，并且灵活利用反例加强学生对关键词概念与特征的了解，加强概念的理解，但是在对照班老师不是用反例的帮助来帮助学生理解的。所以，维度1实验班的分数率为74.71%，对照班为59.78%。他们的分数率相差14.93%，可认为是实验造成的。由此可见，反例有助于加深学生对数学概念的理解。
⑵反例对规则理解和应用的影响
后测试卷的第4和第5题是考查反例对定理、规则和公式的理解和应用的影响。因为知识负迁移的负面影响和思维定式的消极影响，学生通常忽略了定理、法则、公式的适用范围，或死记硬背，或者胡乱使用等效性，忽略他们的前提，出现各种问题。因此，在简单逻辑和对数运算的教学中，给出了一些与定理有关的命题，并构造了一部分反例来判断它们的不真伪。然而在对照班上，老师没有使用反例来帮助学生进行理解。所以，实验班在维度2中的得分为71.47%，对照班的得分为57.42%，他们的评分率相差14.05%，可认为是实验造成的。由此可见，使用反例可以帮助学生理解和应用定理、法则和公式。
四、结论
根据后测试卷的结果分析，能够得出反例在高一数学中的作用为以下几点：①帮助学生深入了解概念；②促进学生理解与使用定理、法则、公式；③找出数学中的问题与错误并给予纠正；④培养学生的创造力；⑤增强学生解题能力和速度。而使用反例的一些问题为：①注重主次；②注重适当；③反例的选择应满足学生水平；④在教学活动中适当加入反例教学；⑤利用反例处理学习难题，增强学生理解能力；⑥不能过于强调利用反例帮助学生学习。
参考文献：
[1]张涵.反例应用于中学数学教学的调查实验与教学构建[D].山东师范大学.
[2]孙嘉曼.立体几何反例使用情况调查研究[D].青海师范大学,2017.