许章田
安徽省合肥一六八中学 安徽省 合肥市 230601
摘要：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
函数与方程的思想是非常重要的数学思想方法之一.
关键词：函数；方程；思想方法；热点
函数与方程思想涉及的几个问题：
(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．
(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．
(4)解析几何中的许多问题，常需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，也常需
要运用列方程或者建立函数表达式的方法加以解决．
热点一：函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用
在遇到有关求范围、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题时，常通过构造函数，借助相关初等函数的性质求解．
例1： 已知实数a，b，c，有a>b>c，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求a＋b与a2＋b2的范围．
【解析】a＋b＋c＝1?a＋b＝1－c.
a2＋b2＋c2＝1?(a＋b)2－2ab＋c2－1＝0?(1－c)2－2ab＋c2－1＝0?ab＝c2－c，
且a＋b＝1－c.
构造一个一元二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0，
a，b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c，
令f(x)＝x2－(1－c)x＋c2－c，则由图象与x轴有两个交点且都在(c，＋∞)内，
知∴－<c<0，∴
1<1－c<，<1－c2<1，
即a＋b∈(1，)，a2＋b2∈(，1)．
【点评】(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．
(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：
其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；
其二，充分利用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．
(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可巧妙解决问题．
(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．
热点二：利用函数与方程相互转化的观点解决函数、方程问题
在解决函数、方程问题时，我们经常利用两者的联系进行转化．若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等量关系式转化成函数，这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等)就可解决问题；若将等量关系式看成关于某个未知量的方程，则利用解方程或考虑根的情形可求得变量．
例2，已知函数f(x)＝ln x－.
(1)当b＝1时，若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，求a的取值范围；
(2)当a＞0且b＝0时，求证：函数f(x)存在唯一零点的充要条件是a＝1；
(3)设m，n∈(0，＋∞)，且m≠n，求证：＜.
【解析】 (1)当b＝1时，f(x)＝ln x－，
则f′(x)＝－
＝.
因为f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，
所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
当x∈(0，＋∞)时，由x2＋(2－2a)x＋1≥0，得2a－2≤x＋.
设g(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)，所以g(x)≥2，当且仅当x＝时，等号成立．
即x＝1时，g(x)有最小值2，所以2a－2≤2，
解得a≤2.所以a的取值范围是(－∞，2]．
(2)当a＞0且b＝0时，f(x)＝ln x－，
则f′(x)＝－＝(x＞0)．
当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)上单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．
综上所述，f(x)的单调递减区间为(0，a)；f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)．
①充分性：a＝1时，在x＝1处f(x)有极小值也是最小值，即f(x)min＝f(1)＝0.
f(x)在(0，＋∞)上有唯一的一个零点x＝1.
②必要性：f(x)＝0在(0，＋∞) 上有唯一解，且a＞0，f(a)＝0，即ln a－a＋1＝0.
令g(a)＝ln a－a＋1，则g′(a)＝－1＝.
当0＜a＜1时，g′(a)＞0，g(a)在(0，1)上单调递增；
当a＞1时，g′(a)＜0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减．
g(a)max＝g(1)＝0，f(a)＝0只有唯一解a＝1.
f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解时必有a＝1.
综上，当a＞0且b＝0时，f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解的充要条件是a＝1.
(3)不妨设m＞n＞0，则＞1，要证＜，
只需证＜，即证ln ＞，
只需证ln －＞0，
设h(x)＝ln x－，由(1)知，h(x)在(1，＋∞)上是单调增函数，
又＞1，则有h()＞h(1)＝0，即ln－＞0成立，
所以＜.
【点评】函数f(x)在区间D上单调递增，一般转化为其导函数f′(x)≥0恒成立，再利用不等式恒成立知识求解．函数零点的讨论通常是利用导数研究函数性质，充要条件的证明基本是从充分性、必要性两个方面证明，而代数中的不等式证明一般是利用函数性质以算代证．
结语：函数与方程思想是利用运动、变化的观点及辩证思维的观点解决数学问题，是高考中考查的最重要的思想方法之一，掌握这一思想方法，需要平时在解题的过程中去积累、思考和总结。
参考文献：
（1）阮冷沅：高中数学思想.中央广播大学出版社.2004
（2）黄上儿：高中数学常用思想方法.百度文库.2011
（3）@西西弗神话的店：高中数学常见思想方法总结. 百度文库.2019