雒曼琳
西安市雁塔区航天二一〇小学 陕西 西安 710065
摘要：从提出在数学教学中融入数学史,到推广应用，再到研究数学史和数学教育的关系的国际组织的建立（简称HPM），已经有了近百年的历史征途。HPM教学能够使学生更好的理解数学，同时使学生的学习兴趣得到增强，帮助学生建立积极的数学学习态度，培养学生的学习动机，帮助学生的数学观念得到改善。小学数学教师在运算教学过程中要积极借助数学史料，鼓励和引导学生探究多样化算法，为数学教学提供一条崭新的道路。
关键词：历史；回溯；笔算乘法；通则；HPM
通过对小学生展开的调查显示，虽然学生对数学史的知识较为薄弱，但是学生在学习数学史时兴趣度却很高，面对数学史的学习总是充满了活力和学习动机[1]。因此，教师在引导学生探究数的运算时，对数学知识相关的数学史要进行充分的挖掘和利用。本文就根据调查中发现的问题，展开基于HPM视角小学乘法笔算方法多样化研究，以“两位数乘两位数”为例进行实践和分析。
一、聚焦学生问题，激发研究历史的兴趣
在小学数学数的运算知识中，乘法是较为重要的数学运算方式，是加法运算的升级，在乘法运算中较为重要的组成部分就是两位数乘两位数，它为以后的多位数乘法计算做铺垫，学生只有充分理解运算原理，熟练掌握运算方法，才能举一反三，融会贯通，这不仅有利于后期知识的学习，同时有利于思维能力的提高和发展。
在两位数乘两位数的学习中，提倡学生采用多样的、个性化的方法进行探究，在随后的学生分享中，呈现出三种不同的计算方法，即列表计算法、口算拆分法和竖式计算的方法，通过教师引导，学生发现虽然三种方法的计算形式不同，但计算原理是相同的，都是将两个乘数拆分成整十数和一位数，然后分别相乘，最后将得到的积相加。教学结束时，教师组织学生小结和分享，有学生提出自己的质疑：从古至今，人们计算乘法的方法就只有这三种吗？这个问题引发了笔者的思考，看来让学生了解和研究历史中曾出现的不同的乘法计算方法是必要的，或许学生从多样的历史方法中可以收获更多的发现。随后笔者布置了课后作业，让学生分组收集和整理古今中外有关乘法计算的不同方法，先小组学习和研究，在随后的班级学习中进行交流和分享。
二、分享不同算法，收获重温历史的乐趣
在之后的教学中，笔者开设专项课时，组织学生交流和分享自己的研究成果。
A组学生为同学们带来了“铺地锦”的计算方法。先呈现了图1，让同学们尝试说一说自己的理解。
图1 铺地锦
面对这样一种新奇的算法，学生们积极投入到研究中，很快完成了算法的探究。本组同学利用微课的方式，向同学们介绍了“铺地锦”的历史。印度数学家婆什迦逻（Bbaskara1114—1185？）在以他女儿命名的一部数学书《丽拉娃蒂（Lilavati）》(1150年)中给出五种乘法，其中一种被后人称为“格栅法”。国内目前发现的史料中，明朝数学家夏源泽撰写的《指明算法》（1439年）首次刊载了格子乘法，它和珠算并行，在明朝社会上广为流传，因为计算的结果数字密密麻麻排列有序犹如锦缎，也称为“铺地锦”。
B组学生分享的是中国的“筹算”乘法。他们利用带磁力的小棒，在黑板上进行32×13=416的操作，边操作边说明，下面的学生听得全神贯注，不断进行追问。清楚计算方法后，本组同学出示了新的算式，邀请其他同学到黑板前进行演示操作，同学们争先恐后，呈现出极大的学习热情。笔者抓住学习契机，对中国“筹算”的历史进行了补充，让学生认识到筹算和十进制一样，在世界数学史上有着不可动摇的地位。
同时引导学生思考“筹算”和现代竖式的相同与不同。筹算乘法的计算原理和现在的竖式乘法完全一致，计算步骤与现在的笔算乘法也基本一致，不同的是，筹算乘法从高位乘起，积置于两个乘数之间。算筹增添很方便，所以古人并不关心“从哪里算起”。
C组学生介绍了“叠果法”。他们出示图2让同学们进行观察，然后组织交流和讨论，随后给出两道算式让同学们用这种方法进行分组比赛。C组一名成员以PPT的方式向同学们介绍了“叠果法”的历史。公元9世纪，印度数学和中国造纸术传入阿拉伯，阿拉伯人开始在纸上运算。比起中国的筹算，纸上运算只能逐次划掉中间步骤所得的结果，因此算式显得很混乱，也容易出错。当欧洲人接受纸上乘法计算时，就进一步作了改变，意大利数学家帕乔利（Pacioli，Luca，1445—1517？）在其著作《算术、几何、比与比例集成》（1494）中记录了这种乘法竖式，当时叫“叠果法”。学生们很快发现“叠果法”和中国“筹算”在计算方法上的相同点，都是从高位算起，然后相同数位上的数进行相加。
图2 叠果法
D组学生分享的是“划线数点法”。当他们在黑板上边划线边计算出结果时，很多同学表示了惊讶。学生们认为还可以用这样画图的方式进行乘法运算是一件不可思议的事情，纷纷动手进行尝试。当D组的学生介绍说国外没有乘法口诀，划线数点法至今在英美国家流行时，学生在惊叹之余认为“划线数点法”虽然有趣，但使用起来有些麻烦，尤其是当乘数的数位较多时，容易产生错误，都表示应该将我国的“乘法口诀”推广到国外，让他们一起分享我们祖先的智慧。
图3 划线数点法
计算教学往往是“理”有余而“趣”不足。数学历史故事无疑可以给计算教学增添趣味。教师在课堂上组织学生对古今中外的乘法计算方法进行研究，对于学生来说充满了新鲜感，同时还带给学生浓厚的历史感，让学生充分体会在社会生产中运用数学解决问题的悠久历史。学生通过学习和了解，不再怯于古今文化的差异，对数学史料能够深刻理解，对乘法计算的兴趣有了不同程度的增加。
三、探究算法通则，汲取学习历史的智慧
在以往的运算教学中，教师更多关注的是学生计算方法的掌握，对于算理的理解往往浅尝辄止。这样的教学导致学生无法顺利实现方法的迁移类推，对于后期的学习和思维的发展是不利的。而要实现有效迁移，关键在于学生学习运算方法时能深刻体验算法的形成过程，并在此过程中理解算法原理，建立清晰的运算模型。
在学生对古今中外的乘法计算方法研究了解后，笔者以24×13为例组织学生对“铺地锦”“筹算”“叠果法”“划线数点法”同现代笔算竖式进行了比较和关联。让学生在几种算法中用笔圈出相同的计算步骤，并说一说在不同的算法中是怎样呈现的，通过比对和分析，学生发现几种算法虽然计算形式不同，但都可以拆分为20×3=60,4×3=12,20×10=200,4×10=40,60+12+200+40=312，即将乘数拆分成整十数和一位数，分别相乘后将得到的结果按照相同数位相加。在学生充分理解两位数乘两位数的笔算乘法的原理后，笔者出示了一道三位数乘两位数、一道三位数乘三位数的算式让学生尝试采用自己喜欢的方式进行研究计算，之后组织学生进行班级讨论，发现学生不仅能掌握正确的计算方法，同时能清晰地说出计算原理，较为顺利的实现了算法的迁移。
结束语：
随着HPM研究的不断深入，小学数学教学与数学史充分融合，已经是新课改理念下的必然趋势。将数学史融入数学课堂不仅能够使学生的数学学习兴趣得到有效提高，对于数学知识的理解也会更加深刻。教师要对数学史料进行收集和整理，梳理出有教育价值的数学史料，有效应用于课堂教学，才能让学生在有数学味、有历史味的学习情境中，合作探究，交流碰撞，实现学生思维能力的进一步发展。
参考文献：
[1]丁亚光.古今.乘法.明理[J].教学月刊，2019，11:41-43
[2]谭亚鹏.系统把握 核心给力[J]，2018,02:31-35