束观元
安徽省舒城中学 231300
恒成立问题作为高中数学学习中不可缺少一部分，掌握高中数学恒成立问题的解题方法和思路不仅是高中阶段的重要任务，也是为日后学习数学奠定扎实基础的关键。现主要从掌握高中数学恒成立问题的解题方法与思路的意义出发，对恒成立问题的类型和求解方法作一小结，如“一次型”函数恒成立问题，利用函数单调性；“二次型”函数恒成立问题，数形结合理解；可以分离参数的，转化为函数最值求解；确定主元，利用函数单调性求解；数形结合，直观求解，以对高中数学恒成立问题常见的解题方法和思路进行分析。
一、单变量恒成立问题
（一）分离参数：利用分离参数法来确定不等式f（x，a）≥0（x∈D，a为参数）恒成立时，参数a的取值范围的一般思路：将题目中的参数与变量分离，化为g（a）≤f（x）（或g（a）≥f（x））恒成立的形式。接下来求解出函数f（x）的最小（或最大）值，最后解不等式g（a）≤f（x）min（或g（a）≥f（x）max），进而求得a的取值范围，该思路一般适用于参数与变量易分离且最值易求得的题型。
高考引例1（2007年山东文）当x∈（1，2）时，x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是。
本引例中，注意到x的取值范围，可以采用分离参数的方法.解：由x∈（1，2），x2+mx+4＜0恒成立，对不等式分离参数，得。令，，易知f（x）在（1，2）上是减函数，所以x∈（1，2）时，4＜f（x）＜5，则，所以m≤－5。又如高考引例2，也可以采用分离参数的方法，只不过要分段讨论，最终结果取“交集”。解：
?x∈［－3，+∞），f（x）≤恒成立??x∈［－3，0］，x2+2x+α－2≤－x且?x∈（0，+∞），－x2+2x－2α≤x?α≤（－x2－3x+2）min=2且α≥max=?α∈［，2］。
（二）函数思想一般思路：首先分清楚题目中的变量与参数。一般来说，题目给出取值范围的元为变量，最终求解范围的元为参数，通过构造变量的函数，借助所构造的函数的取值特征进行求解。若在客观题中涉及不同类型函数恒成立问题，可通过画函数图像的方法，排除选项，提高解题速度。如引例1也可以用函数思想（二次函数根的分布）来解答，也比较简便。解：设f（x）=x2+mx+4，易知二次函数的图像“开口向上”，则要使当x∈（1，2）时，x2+mx+4＜0恒成立，只需满足，即，解得m≤－5。
总结：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且a＞0，f（x）＜0在x∈［α，β］上恒成立?，f（x）＜0在x∈（α，β）上恒成立?。
（三）构造函数求解
1、（2014北京高考卷理第18题）已知函数f(x)=xcosx?sinxx∈[0，]，
（1）求证：f(x)≤0；
（2）若a<<b对x∈(0，)恒成立，求a的最大值与b的最小值。
解:（1）由f(x)=xcosx?sinx得f′(x)=cosx?xsinx?cosx=?xsinx因为在区间(0,)上f(x)=?xsinx<0，所以f(x)在区间[0,]上单调递减,从而f(x)≤f(0)=0。
（2）当x>0时，>?sinx?x>0，<b?sinx?bx<0，令g(x)=sinx?cx,则g(x)=cosx?c，当c≤0时，g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立。当c≥1时，因为对任意x∈(0,),g(x)=cosx?c<0，所以g(x)在区间[0,]上单调递减，从而g(x)<g(0)=0对任意(0,)恒成立。当0<c<1时，存在唯一的x0∈(0,),g′(x0)=cosx0?c=0。
g(x)与g(x)在区间(0,)上的情况如下：
x (0,x0) x0 (x0,)
g′(x) 0
g(x)
因为g(x)在区间[0,x0]上是增函数，所以g(x0)>g(0)=0。“g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立”当且仅当g()=1?c≥0,即0<c≤。综上所述，当且仅当c≤时,g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立;当且仅当c≥1时,g(x)<0对任意x∈(0,)恒成立。所以,若a<sinxx<b对x∈(0,)恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1。
当参数难以分离时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已经渗透到数学的各个分支，在有些数学问题上中，通过观察数式特点，构造适当的数学模型，然后通过研究此函数性质来确定参数的取值范围。
（四）逐段筛选法求解
1、(2016年四川高考卷理21题)设函数f(x)=ax2?a?lnx,其中a∈R。
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）确定a的所有可能取值,使得f(x)>?e1?x在区
间(1,+∞)内恒成立。(e=2.718……为自然对数的底数)
解：（1）f′(x)=2ax?=(x>0)当a≤0时，f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减。当a>0时,由f′(x)=0,由x=，此时当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减。当x∈(,+∞)时,f′(x)>0，f(x)单调递减。
（2）令g(x)=?=,s(x)=ex?1?x,则s(x)=ex?1?1，而当x>1时,s(x)>0,所以
s(x)在区间(1,+∞)内单调递增。又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0当a≤0,x>1，f(x)=a(x2?1)?lnx<f(1)=0。故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0。当0<a<时，>1，由（1）有f()<f(1)=0,而g()>0,所以f(x)>g(x)在区间
(1,+∞)内不恒成立。当a≥时,令h(x)=f(x)?g(x)(x>1)。当x>1时,h(x)=2ax?+?e1?x>x?+?=>0因此，h(x)在区间(1,+∞)单调递增。又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)?g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立。综上，a∈[,+∞]。
本题对a进行分类讨论，逐段筛选出符合条件的a的范围。求解的办法是对函数（或构造的函数）求导，然后结合单调性等验证不等式是否恒成立，这种解法既考查对不等式恒成立条件正面的探究过程，又考查不等式恒成立的否定过程。
二、双变量恒成立问题
例：设函数f（x）=x－2sinx，?x1，x2∈［0，π］，恒有，求M的最小值。
分析：由题易知，要使得，?x1，x2∈［0，π］恒成立，只需求，即的值。
解：由f（x）=x－2sinx，得f′（x）=1－2cosx，易知时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；时，f′（x）＞0，f（x）单调递增。所以当x=时，f（x）有极小值，即最小值，且f（x）min=f（）=。又f（0）=0，f（π）=π，所以f（x）max=π。所以M≥==。
G·波利亚在《数学的发现》中曾说：“数学的技能比知识更重要。”含参恒成立问题的题型和解题策略远不止这些，比如还有一次函数求解型，确定主元法，数形结合法，观察、证明、猜想等方法。而在解题中，解题方法常是交叉使用的，更重要的是阐述分析问题和解决问题的一般规律和解题策略，解法并不唯一。恒成立问题对思维能力的要求远远高于对知识的理解与一般意义上的运用。