曹 琪
大同市第一中学校，山西 大同 037000
摘要：数学知识层出不穷，但万变不离其宗，数学知识的核心在于数学思想。能否以数学思想客观认识和解决数学问题，是评判学生数学能力和素养的标准。高中排列组合问题融汇了多种数学思想，有利于培养学生的具化思维能力和数学模型建立能力，故而系统研讨排列组合问题中的数学思想，对于高中教学实践具有一定的借鉴意义。
关键词：排列组合；分类讨论；化归转化
引言：让学生看到数学问题背后遵循的数学思想是提高数学教学质量的有效途径，授人以鱼不如授人以渔，可以说，数学思想贯穿了数学问题发生发展的始终。本文以排列组合问题为例，通过探讨其中的分类讨论、化归转化、对称思想等主要脉络，望能给相关教学工作提供一定的参照建议。
一、分类讨论与化归转化思想
排列组合的混合应用中，分类讨论是解决问题的重要思想。在运用这一思想解决具体问题时，应即时分清问题结构共分哪几步或哪几类。明晰相关问题遵循分步计数原理还是分类计数原理，涉及具体每一步或每一类时分清是排列问题或是组合问题。在这一基础上运用化归转化思想将问题进一步拆解转化，化归转化思想是指将待研究对象在特定条件下归结转化为另一常见明了的研究对象，以使有关问题简化、一般化，进而能以常见现象代替特定现象，拨除无益于问题解决的冗杂思维，还原问题发生发展的基本结构和一般过程。
例如某班有十名学生，喜好语文的共有五人，喜好地理的共有七人，既喜好语文且喜好地理的共计两人，班级现要从分别喜好数学和地理的同学中抽调两人参与数学竞赛，两人参与地理竞赛，试问抽调方式共有几种。这一问题的解决可以先遵循化归转化思想，再遵循分类讨论思想。例如该问题可以转化为常见的黑白球问题，由题意可将上述问题转化为如下问题，黑球三枚，白球两枚，两枚未着色球可随时转为黑球或白球，现欲取两黑球两白球，试问共有多少种方式？这之后遵循分类讨论思想进行如下情况罗列：两未着色球均不选；仅选一球为黑；仅选一球为白；两未着色球均为黑；两未着色球均为白；两着色球一黑一白。分别计算这六种情况下每一情况设计的方式，由排列组合计算的一般过程可知，共计一百六十三种。
二、集合思想与整体思想
集合概念作为数学领域的基础概念，广泛应用于数学学科的各主要分支，在探讨数学问题时以集合的符号图形体系建立相关问题的数学模型，能使问题得到更加清晰直观的呈现，进而更明了地解决有关问题。并在集合概念的基础上应用整体思想，从整体着手，以问题主体在整体层次、整体形式、整体结构上的处理，避免陷入一叶障目不见泰山的认知困境，由上而下由整体到细节逐步拆解问题要素，从而达到问题快速简便解决的目的。
例如高二某班的课程安排需有历史、生物、化学、语文、数学、体育共六门课程，若课时安排要求第一节不排体育，最后一节不排化学，试问该班共有多少不同课程表可供选择？这一问题的解决首先应应用整体思想，从宏观整体上审视整个问题，如该问题结构可分为四部分。课程整体排列组合部分、第一节排体育课程部分、最后一节排化学课程部分、第一节排体育课程，最后一节排化学课程部分，整体部分抛出这三部分后的剩余部分即是本题要求的答案。这时再利用集合中的并集、交集概念画出相应图示，兼顾细节上第一节排体育课程、最后一节排化学课程这一部分被减除了两次后得到完整的数学式子，以此来一目了然地解决相关问题。
三、对称思想的实际应用
数学中的对称思想是指在数学问题的处理中应用几何关系、推理形式、数量分布的对称性来对应式解决处理问题的数学思想，如能敏锐把握到数学问题解决过程中的对称性，以这一思想充分挖掘实例信息，则能化繁就简，找到解决问题的优化解法。
如某大胃王在直播准备过程中选择食材，在七个食材中选择五个进行吃播展示，其中甲乙为必选食材，并且在吃播过程中必须遵循先甲后乙的顺序，甲乙的展示顺序可不紧邻，问其共有多少种吃播展示顺序？对这一问题的解决应意识到，该实例的排列组合过程中先甲后乙与先乙后甲在总方式中各占一半，这一问题的发生过程遵循先组合后排列的乘式关系，故问题解决应分三步：甲乙既定情况下剩余五选其三的组合、选出五个后各自顺序的排列，这时已有步骤中非甲在乙前即乙在甲前，两者呈对称关系，故除以二，即为本题的答案。
结语：数学思想在数学问题的解决中占具核心地位，应用到具体数学问题的解决过程中应不落窠臼，不拘泥于采用某一单一的数学思想，而是应从宏观到微观、从整体到细节，参考已有数学思想转化成自身认知、探寻、解决数学问题的思想体系。在排列组合这一领域的具体教学、学习中，应将分类讨论、化归转化、集合整体对称等数学思想融为一炉，看到数学思想背后对问题要素的拆解分析，从而打造解决相关问题的有机思考体系，掌握解决数学问题的一般方法，从而为后续的学习进程打下稳固的认知基础。
参考文献:
[1]罗小平，排列组合问题中的数学思想，2017
[2]陈国树，排列组合问题中数学思想方法探讨，1995
[3]洪其强，解排列组合问题中的数学思想，2009