陈茜茜
浙江省温州翔宇中学
很多学生怕几何，有挫败无力感。心情像极了王国维的第一境界“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。那该怎么教几何课呢？在一次教研活动中听完乐清育英的郑乐燕老师一堂妙趣横生的几何课《“十字”建构反比例函数中的面积问题》 ——基于2020年温州市中考第15题的思考。我得到了一点浅薄的灵感。一题一课能上得如此行云流水，离不开郑老师的巧妙设计。
一、教学片段：
如图1引入:基础反比例图形。引入图是学生非常熟悉的反比例基础图形，门槛低，各个层次的学生都愿意尝试。郑老师由此图回顾了基础知识并引导学生面积与坐标等关系，为下面研究做好铺垫。
图1 图2 图3
.png)
图4 图5 图6
紧接着在图2中引导学生理解两个阴影部分面积相等，用意是在让学生经历由反比例函数中xy=k推导出矩形面积相等，感受反比例函数上横纵相乘为定值，为2020年中考第15题继续作铺垫。
中考15题原题（图3）： 点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3． 若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2=_______．
这一题就是利用横纵相乘为定值，得出OF:OG:OA==2:3:6,得到OF:FG:GA=2:1:3,再面积转移就得到答案S2=.
还可以设元，设点P的坐标为，所以可得到Q，R从而可以表示出图形中所有线段，这样就能得到答案.这种方法属于通法通解.
所以在下面的变式中（图4），可以使用两种方法都可以解决.
但是下面这一拓展题用设元就不好解，只能用前面引入阴影面积相等这一个性质，解决问题.
拓展(如图5)：点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3． 若OE:ED =1:2，S3＝6S2，则OF:FG:GA=_______．
这一题利用面积的关系，结合条件解决问题，属于巧法巧解，对学生的思维有很大的启发.解题如图6：
矩形CDJP的面积等于矩形JFGQ的面积，从而得出CP与HB的比值为1:4.
小结：反比例函数中，横纵相乘为定值，利用设元，通过代数运算，基本能解决大部分问题.但在面积和几何的角度思考，我们还需要一些技巧.
二、感触与反思：
反比例函数是继一次函数学习之后又一类新的函数，它建立在一次函数基础上，而又服务于以更高层次函数的学习，以及为函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础，函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数。郑老师从反比例函数图像上的点与坐标轴构成矩形的面积计算出发，教师通过1个问题2个变式1个逆用来展示矩形面积与“k”之间的关系。
郑老师善于对试题进行充分的剖析，深入研究，以点带线，以线带面，充分演绎事半功倍的效果。体现如下：
①开放式的引入，从点出发，引出K与坐标、矩形面积的关系，勾画出“十字”模型，加强它与方程、等积、相似等知识的联系。
②原题呈现时，学生已积累了“十字”建构模型的经验，在郑老师的问了还想问的循循诱导下，生1设点（a，b）解析法，生2抓住k的本质解法，生3的融会贯通“十字”建构 ，相当精彩！真正诠释了讲活一题，触类旁通的智慧课堂。
③学生在原题上小试身手，崭露头角后，郑老师因势利导，及时呈现变式训练，当遇到隐藏条件时，我们的“十字”模型还能否发挥它的作用？答案是肯定的，而且还事半功倍！
④学生顺用、雾里看花也能用，郑老师借机“逆向思考，回归本质”，帮助学生形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络。
本节课在郑老师讲解、提问与学生练习有机结合起来，巧妙地运用一题多问、一题多解、一题多变、做中学等，充分调动了学生学习积极性，真正体现了教师主导、学生主体。
我们看到全课的设计由点得到线,由线搭建“十字”，带来的形（面积），又由形（面积）逆向推回点（坐标）。尽管图形千变万化，本质还是基于几何基本图形，点、线、面。并不是其他神秘之物，增加学生学习数学几何的信心。找到“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的境界，品几何之魅力，更喜欢数学。