丁志伟
上海市澄衷高级中学
摘要：为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，学生发展的核心素养就成了重中之重。做为一名数学教师更多的职责是考虑如何落实数学核心素养的培养，而其中数学抽象素养与数学直观想象的培养又是高中阶段的重点和难点，开展数形结合思想的实践探索是有效连接高中数学两大素养的有效途径。本文以复数的几何意义与应用教学设计为例做了一次数学结合思想教学的实践探索。
关键字：核心素养、数学抽象、直观想象、的几何意义、数形结合
数形结合百般好，隔裂分家万事休。
-------华罗庚
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。高中数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过数学抽象与直观想象的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。同时可以看出数形结合思想是数学抽象和直观想象这两大素养结合的纽带。
从数学史来说，复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪，意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根，但公式中引用了负数开方的形式，并把i当作数，与其他数一起参与运算．19世纪，数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释，并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用，人们才认识了这种新的数．德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi．由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”．高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1831年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了．而正是复数与几何，复数与向量的密切联系，使得复数与高中其他知识点有机的结合起来了．解决复数问题能够进一步培养学生发现问题，分析问题，解决问题，串联各知识点的能力．通常把复数问题的解决分成三大境界：（1）化虚为实境界：设代入条件利用实部、虚部相等过渡到实数方程问题。（2）模和共轭整体运算境界：适当的使用模和共轭运算性质，利用性质掩盖具体化虚为实步骤，可提高解题速度。（3）几何意义境界：数形结合，利用形的意义来解决复数中代数问题。
下面以《复数的几何意义与应用》的课例为例，开展数形结合思想的实践探究
教学过程:
提出问题1：复数的几何意义是什么呢？
（板书） 设分别对应复平面上的点和，则（由复数的减法法则和模的公式得到），由此可见表示复平面上两点之间的距离。特别的当时，表示点到原点的距离。
（可请同学回答）例如，既可以表示对应的点到原点O的距离，也可以看作实数2对应的点到纯虚数对应的点的距离。
提出问题2: 的几何意义又是什么呢？
即表示复数对应的点到对应的点的距离为1，更进一步得到此时点的轨迹是以为圆心1为半径的圆。
如此一来，复数问题与解析几何问题之间建立了联系，有些复数问题可转化为解析几何问题加以解决，这是数形结合思想解决问题的出发点。
例题1：已知复数，若，求的取值范围。
（几何方法）（从几何意义的角度，请问复数对应点的轨迹是什么？得到轨迹是圆后再用圆的性质解题。）
解：的表示以为圆心，1为半径的圆上的点的轨迹， 表示圆上的点到点的距离
易得：的取值范围
说明：对比以上两种方法几何法即解法2更为直观便捷，应该是解决此类最值问题的首选方法。
（接下来我们将例题的条件加以变化，看看能得到什么不同的轨迹）
变式1：若
解：表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆及圆内部分
变式2：若
解：表示复数对应的点的轨迹是以点和点为端点的线段的垂直平分线
变式3：若
解：表示复数对应的点的轨迹是以点和点为焦点，6为长轴长的椭圆
（进一步提问：若6改为4则轨迹是什么?线段；若改为3呢？无轨迹）
变式4：若
解：表示复数对应的点的轨迹是以点和点为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(若2改为4则轨迹是什么？以（2，0）为端点向右的射线；改为6呢？无轨迹；何时是两支？左式加绝对值)
数形结合，利用形的意义来解决复数中代数问题而学生对于此种方法极其生疏，从历史上来说，数与形的结合本来就是一个难题，对于学生当然亦是如此。此法的提出有利于学生从几何角度来认识复数，使学生对复数的理解从代数层面上升到几何和代数双层面，使抽象的复数问题具体化，图像化。使学生逐步掌握数形结合思想。
这堂课的教学，笔者采用了数学史上复数几何意义的产生作为引入，使学生的认知过程符合人类对复数的认知过程，通过不同方法的讲解，充分调动了学生的思维，使学生对复数的认知逐步上升，体会复数问题求解技巧的三大境界。
笔者始终认为数学教育就是一个思维教育的过程，数学是培养学生如何思考的学科，知识是重要的，但掌握知识背后的数学素养却更为重要，作为一名普通的数学教育工作者，要努力开展深度教学，促进学生学会学习，进而渗透数学学科的核心素养。
参考文献
【1】汪晓勤(2002). 中学数学中的数学史. 北京: 科学出版社
【2】克莱因. 古今数学思想第三册