叶飞山
广东省惠州市 崇雅实验学校 516211
【摘要】20世纪后期，西方教育界对教育模式进行前所未有的研究并提出了基于行动的行为主义、基于人客观发展的认知主义、基于学习者主动学习的建构主义等，各种模式各有优劣，其中皮亚杰提出的建构主义的观点是：学习的过程应该是学习者利用已经掌握的旧知识主动地建构新知识，这一活动的过程以自身的经验为基础，对新的知识进行有选择地接受、并加以理解和运用，从而获得新知识。该理论更多地体现了人的主观能动性，在教育界引起极大反响，本文以该理论的模式为依据研究数列求和问题，以期为读者提供参考。
【关键词】主观能动性 建构主义 裂项 数列求和
一．文献综述
皮亚杰提出的建构主义，得到众多教育界的专家学者的追捧，其主要观点是，学习知识的过程是学习者主动接受新事物的过程中实现的，是由旧知识建构新知识的过程[1]。在对这一问题进行阐述的过程中，皮亚杰也同样提出了一整套新的概念，其中最重要的概念包括同化和顺应等等重要概念。其主旨是指学习者利用自身掌握的知识结构对新知识进行加工和处理的过程，同时学习者在加工过程中把新的体会进行转化、整合从而对旧知识进行双重建构。因此，根据该理论，学生获得知识的过程是通过自身旧知识建构新知识的结果。正因如此，皮亚杰及其追捧者坚决反对“填鸭式”的教学方式，他们主张创设问题情境，让学生在探索、合作中进行探究，充分发挥学生的积极性。
高中生处于接近成年的阶段，各方面的认知与成年人基本无异，在教学过程中不能像低龄学生一样的教学方式，数学教学尤其如此，数学课堂更不应该是死记硬背+题海战术，高中数学的教学过程应该更注重自主探究、小组合作。但在现实情况中，面对各级各类考试，老师和学生疲于应对，导致观念陈旧，建构主义理论的运用不理想。因此，如何提高课堂效率，增加课堂的趣味性，让学生爱上课堂、爱上数学，提升学生学习的主观能动性是摆在一线教育者和学生面前的一道难题。
二．建构主义理论在课堂中的应用
裂项相消法在数列知识体系中占有举足轻重的作用，是求解数列前n项和的一种常用方法，是培养学生逻辑推理能力的重要手段[2]。根据建构主义理论的观点，新知识的掌握应该遵从学生“最近发展区”的规律。裂项求和最为关键的是把数列的通项拆分成两项差的形式，在求和过程中利用加、减消去中间项，只剩前后两项或前后四项，从而达到求和的目的。
1.复习引入，提出问题，创设情境
师：课前提出问题，回顾求和公式。
生：等差数列：Sn＝＝na1＋d；等比数列：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
师：利用求和公式，我们可以计算一个等差数列以及一个等比数列前n项和。如果数列{an}满足an＝，如何求出它前n项和？
2.实例探究，初步构建裂项相消法的概念
师：上面的数列既不是等差数列也不是等比数列，我们不能利用公式求和，请同学们仔细观察它的通项是否有其它的特点，如果能找到结构上的特点，我们就能找到突破口。
生：通过观察发现通项公式是有特点的，其分母是两项正整数的乘积，这种结构可以采用列项进行分解：an＝＝－，而这样做就把一项拆分为两项，表面上看是增加了运算量，但在求前n项和过程中便可以发现规律：可以利用正负消除中间项，而只留下前后两项，把问题简化，解答如下：
∵an＝＝－，
∴S5＝＋＋…＋＝1－＝.
师：上面这种数列求和的方法叫做裂项相消法，当数列的通项公式可拆分时采用该方法。从整个过程来看，如何拆分通项是关键。通过这个实例，大家已经基本上掌握了裂项相消法求数列前n项和的过程。请大家结合实例，小组讨论并总结针对裂项求和的公式。
生：小组讨论，并总结结论：公式：,A小B大
师：对学生的结论进行肯定并总结。
3.变式训练，再次建构裂项相消方法
变式训练1：求数列的前n项和。
变式训练2：求和
变式训练1，简单建构 ，基本没有问题；
变式训练2，利用前后各留一项的知识建构前后各留两项的新知识，部分同学在消项过程中出现问题，结果应该是。
变式训练3：求解：＋＋＋…＋，n≥2.
解析：∵＝＝，
∴原式＝
＝＝－.
变式训练4：数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为______
解析：∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
针对上式的结构，我们应该先进行预处理，引导学生利用分母有理化、裂项求和的旧知识建构解决该种结构问题的方法。
变式训练5：数列的通项公式，求其前n项和。
针对上式结构，学生利用旧知识建构解决方法时可能出现拆项出错的情况，老师在教学过程中需要强调拆项的本质是把分母的两项进行拆分，再进行配凑与构造，从而为学生解决此类问题指明方向。
4.对比观察，总结规律
裂项相消求和数列前n项和的方法的关键是对通项进行拆分，必须理解并掌握常见的裂项结构，对于满足分式结构也可以采用配凑的方式构造裂项的基本条件，从而利用该方法求解前n项和的问题。
三．反思与建议
基于建构主义理论，在教学过程中，师生之间应该贯穿始终的是发现——探究——建构——升华这一主线，引导学生在合作探究过程中发现规律，掌握建构知识的核心思想方法，培养逻辑推理的思维习惯。教师在教学设计过程中，应该充分反应数学知识体系的发生、发展规律，为学生的终身发展奠定了基础。
参考文献：
[1]杨瑞清.让自主学习在互动中变得精彩[M].光明日报出版社,2019.
[2]张维忠.数学课程与教学研究[M].杭州:浙江大学出版社,2008:106.
[3]郑毓信.数学方法论入门[M].杭州:浙江教育出版社,2006:1.
[4]张奠宙.中国数学——双基教学[M].上海：上海教育出版社，2004.
[5]姜继为.思维教育导论[M].北京：中央编译出版社，2012.
[6]王光明.数学教育应该重视数学的内在价值[J].教育理论与实践，2005(11):45-47.
[7]王俊辉.高中生对数列的理解[D].上海：华东师范大学硕士学位论文，2009.
[8]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S],人民教育出版社，2003.