鲍晓祥 陈晓珍
江苏省木渎高级中学
摘 要：简洁往往是事物最本质形态。追求数学的简洁美是数学发现的重要因素.学习者通过追求数学解题过程的简洁和计算过程的简洁，不断提高逻辑推理能力和完善思维能力，在解题过程中体现避繁就简的力量，达到解决数学问题的又快又准的目标.以基本不等式求最值问题进行案例分析，呈现以知识的本质特征为理论源，以基本题型的归纳为抓手，以不断思考为主线，提出问题、探究问题，最终获得知识的灵活运用，达到解决问题的目的.
关键词：知识特征 ；思维能力 ；避繁就简； 注重思考。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“课程理念”中提出“把握数学本质，启发思考”的要求.那么，在“以学生发展为本”的理念指导下，在数学教学中，教师到底应该怎样启发学生思考？思考什么？通过思考将达成什么目的？
基于这些问题，结合“基本不等式求最值”的教学过程的反观与思考，认为学好数学可以分成三个层次：（1）深刻理解概念的内涵和外延，把握知识的本质特征，这是思考的理论依据；（2）归纳整理每个知识点对应的题型，悟透每个题型对应的解法，这是思考的方向；（3）不断的在纠错反思中提升解题能力，达到见题“一见如故”、解题“一蹴而就”，这是思考的目的.
一、深刻理解概念的内涵和外延，把握知识的本质特征；
人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学5（必修）》的基本不等式：
().由初中学习的完全平方式：，可以得出，对于任意的实数我们都有，当且仅当时，等号成立.
在理解基本不等式时，要从形式到内含去加强理解，再到外延的拓展.基本不等式的三个特征是：一正、二定、三相等；特别要关注不等式等号成立的条件.
观察基本不等式发现，若左边的积为定值，则右边的和有最小值；若右边的和为定值，则左边的积有最大值.这就是知识的本质特征，从而得出基本不等式的基本应用是求最值问题，主要是两个类型：已知，则
(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值.(简记：积定和最小)
(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值.(简记：和定积最大)
应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接应用基本不等式，若不具备这些条件，则应适当的变形.
观察基本不等式（)和重要不等式（），探究得到基本不等式链
（)，根据积为定值，探究得到（)这是基本不等式的外延.
二、灵活掌握知识的迁移应用
归纳整理每个知识点对应的题型，悟透每个题型对应的解法。如：利用基本不等式求最值的题型及其解法的归纳：
1、基本不等式的本质特征:已知，则
(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值.(简记：积定和最小)
(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值.(简记：和定积最大)
2、基本不等式的外延：
（1）基本不等式链：（)，
（2）互倒形式：（)
（3）“1”的代换，构造互倒形式，达到积为定值，完成求解目标.
3、基本不等式求最值的条件:
(1)?必须是正数;
(2)求积的最大值时,应看和是否为定值;求和的最小值时,应看积是否为定值.
(3)等号成立的条件是否满足.
三、珍惜试错，误中得悟
错误往往是非常宝贵的教育资源。
案例1、设，求函数的最大值.
【质疑审问】：分析题意.待求目标是“求和的最大值”.根据基本不等式，求和应该是最小值，这就引发了学生的思考.
【慎思参悟】：观察已知条件，发现时，，这也不符合基本不等式的使用条件，再结合待求式，使用基本不等式的首要条件是“数或式为正数”，从而将待求式变形为，题目转化为求函数的最小值，这与基本不等式的知识特征符合了，根据“积定和最小”，学生继续思考，怎么达到积为定值的条件？根据分母的结构式，目标函数再次变形
【明辨顿悟】：观察目标式发现，一正二定都满足了.因为所以，当且仅当即时等号成立，即不等式的三个条件都符合了，从而.
【反思悟道】：利用基本不等式求最值的首要条件是各数(或式)均为正，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件
案例2、设 ，求函数 的最大值.
【质疑审问】：分析题意.待求目标是“求积的最大值”.根据基本不等式，“和定积最大”，但不为定值，这就引发了学生的思考.
【慎思参悟】：观察待求目标，不难发现为定值，由得，符合基本不等式的前两个条件了，，当且仅当即时等号成立.
案例3、已知，若，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 14 D. 8
【质疑审问】：分析题意.待求目标是“求的最大值”. 已知是含有四个字母的不等式，本着“求谁留谁的原则”，用 表示 . 因为，所以，已知不等式变形为 ，
【慎思参悟】：求解目标转化为求的最小值，但这是积，不是和，根据基本不等式，“和定积最大，积定和最小”.引发学生继续思考，目标如何转化，符合基本不等式的本质特征？
【明辨顿悟】：继续观察发现，分母中，则待求目标变形为
，此时待求目标转化为求的最小值，观察发现符合积为定值，
【反思悟道】：把握基本不等式的本质特征，悟透其使用条件，应用转化与划归思想，层层推进，越辩越明，问题迎刃而解！求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件
案例4：已知，则的最小值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 9 D. 6
【质疑审问】：分析题意.已知是“和为定值”，待求目标是“求和的最小值”.根据基本不等式，若求和的最小值，需要积为定值，而待求目标的积不可能为定值，这就引发了学生的思考：如何利用已知条件，将待求式变形，达到积为定值的条件？
【慎思参悟】：待求式的分母有参数，分子是常数，如果想构造出积为定值，需要让分子出现分母中的参数；再观察已知式，出现了待求式中分母中的字母，那么如何构造呢？
【明辨顿悟】：待求式的分母，则，待求式等价于，观察结构式，出现了互倒，积为定值.
【反思悟道】：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子，运用适当的方法创设应用基本不等式的条件.互倒的两个数或式的乘积为1，如果待求目标的分母含有参数，分子是常数，就可以考虑互倒的这个特征，进行适当的配凑，达到定值的条件.
牛顿曾说过，我之所以比别人看的远，是因为我站在巨人的肩膀上.教师如何创造高效课堂，引领学生高效学习，使学生能站得更高、看得更远，这是执教生涯一生的追求.数学学习的一个很重要的体现是解题能力.数学学习论中把数学问题的解决看作是解决数学问题的思维活动过程.寻求解法是一个思维策略问题，其内容是根据已知和待求目标不断探求的解题过程，以知识的本质特征为思考方向，引导学生在面对问题时不断尝试运用数学概念的本质特征来阐释问题，联想数学概念对应的基本题型特征，更好地理解并解决问题.突出怎样思考及解题方法是怎样得来的。