罗宇航
广州市增城区新塘中学
摘要：在培养学生兴趣的基础上，渗透数学思想方法，注重培养学生的观察、思维能力和应用数学解题能力。
关键词：立体几何 教学 培养 能力
为了全面提高教学质量，培养学生的能力，教师在教学中只重视教导学生如何按照一定的模式解题，而忽略了学生能力的培养。这种教学模式教出来的学生虽然能在考试中能取得较好的分数，而事实上他们往往是“知其然而不知其所以然”，思维比较狭窄，缺乏应对突然事件的变通能力，一旦遇到比较灵活的题目，他们就束手无策，也就是我们说的“高分低能”现象。这种学生由于能力得不到实质性的提高，将来在社会的竞争中会显得软弱无力，是不能适应现代化的知识应用要求的。所以我们在教学，特别是中学数学教学中，一定要注意学生各种能力的培养，特别是应用数学知识解决实际问题的能力。
在高中的《立体几何》教学中，由于存在大量课堂教学共识，所以有些老师把立体几何的教学当成是“公式教学”，他们上课就是遵从一种模式：列出公式，解析公式，使用公式。学生在这样的教学下，可以熟练地使用公式进行计算。但这就是立几学习中的全部吗？在近期发布的中学数学的学科核心素养中，培养学生的数学建模能力和逻辑推理能力是中学数学课堂教学的重要任务。我认为在立体几何的教学中应该使用各种方法培养学生的能力，使学生不但会用公式，更重要的是要掌握立体几何的真正的内涵，形成一种良好的立几知识结构。下面我就以“球的体积”一节的教学来说明一下如何在立几教学中贯彻能力培养的思想。
“球的体积”这一节书，课本主要叙述了祖恒原理来求取半球的体积的证明过程及球的体积公式的应用例题。如果就是按照课本的内容进行教学，这节课就未免太枯燥太单调了。其实，在老师的精心设计下，这节课完全可以上得充实有趣。
首先，让学生用“猜想”的方法来导出球的体积。有些人认为数学本身具有严密性和系统性，所以由始至终都必须周密的，只能用严格的推理去求取一种定理。事实上，这是一种误解，数学学习中不但要有严密的逻辑思维，也包括了形象思维的培养和应用，也要具备观察、归纳、联想、猜想等习惯和水平。摆出一个半球模型，一个圆锥模型和一个圆柱模型，其中圆锥圆柱的底面半径和高都等于球的半径，（如图1所示：）让学生比较它们体积的大小。
（图1）
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学生通过观察，容易得到的结果是：柱体体积最大，椎体体积最小。然后列出公式：
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引导学生但对圆柱体积与圆锥体积公式进行比较，由于球的体积在圆柱和圆锥之间，即
半球
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所以学生能猜想到半球的体积应该是：
半球
经过第一步猜想后，得到了半球的体积公式，但接下来的还不是证明这个公式，而是实验。许多人认为实验是物理和化学的内容，在数学的学习和教学中式不用实验的，这也是一种误解。实验不但能在繁复的理论证明之前就初步证明一个结论的正误，还令数学的学习更加生动有趣，改变以往数学学习枯燥沉闷的感觉。给学生做的实验非常简单：第一次是用圆锥的模型装满细沙，两次倒进半球模型中，这时细沙刚好装满半球模型，说明半球的体积是圆锥的两倍；第二次是先把圆锥倒盖在圆柱内，然后用半球装满细沙往里倒，（如图2所示）从而证明半球的体积等于圆柱与圆锥体积之差。这第二个实验也是为下面一步——证明打下基础。两个实验通过公式来计算都可以推出半球的体积公式是：
（图2）
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经过以上两步准备工作后，才开始进行数学理论上严密的证明。对于如何用祖恒原理进行证明，书本上已有详细的叙述，所以此处的重点可放在如何构造一个与半球体积相等的几何体（即原几何体的参照体）上。首先，要让学生明白利用祖恒原理进行证明而构造的几何体必须符合两个条件：1、它的计算公式是已知的；2、与原几何体要等高，而且等高的任一截面面积相等。为此必须先研究半球截面的面积变化规律。在此，初步教会学会在立体几何中如何建立一个量的函数。由推导易知半球离底面距离为x的截面面积是：
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将这条公式写成如下形式：
圆面积公式
这时很明显，半球的截面面积可看成是一个圆环的面积。截面所处的位置不同时，圆环的大圆面积不变，而小圆面积却是必须改变的。可以想象，把许多这样的圆环叠加在一起时，大圆会变成圆柱，而小圆由于面积是改变的，所以形成一个圆锥。这样，我们所要构造的几何体已是明显的从一个圆柱挖去一个圆锥的样子，如图3所示：
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（图3）
至于详细的证明过程，书上已有叙述，可以让学生看书自学，以提高学生的自学能力，也可以讲解一遍，以照顾领悟力不够高的学生。
至此，还可以继续引导学生去思考另一种证明方法。因为几何中体积的求法除了使用祖恒原理，更多的是割补法。所以在此处可以让学生思考一下是否可以使用分割法及极限的思想去求取球的体积（极限思想在球的面积求证中已有接触）。这是课本之外的知识了，但为了加强学生的几何解题能力，还是可以讲一讲的，知识老师应该多加指导。根据分割法求体积的思想，应该是把球分割成若干个已知体积求法的几何体，而球是一个对称体，因而分割出来的几何体应该是一样的。在启发了学生这些思路后，可以揭示结果：以球为顶点，将球分割成若干个圆锥，就像一个足球一样，如图4所示：
（图4）
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因此，球的体积可看作是全部小圆锥体积之和：
球锥
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最后，此案时根据公式做辅导练习。在下课前，老师孩可以留给学生如下两道思考题，让学生加深对这节课内容的认识：
1、还可以构造哪些球的参照体？
2、底面直径与球相等的等边圆柱、球、边长等于球的直径的正方体，哪一个的体积大？
这节书课本写得简单，若是老师不注意挖掘其深层内涵，就会流于“记住公式，反复练习”的应试模式，这样就降低了教学要求，把高中课降为初中课的做法。而若老师肯从培养学生的能力出发，加深教学要求，就可以激发学生的学习兴趣，在教学中培养学生的各种解题技巧，同时又真正培养学生的思维能力，包括逻辑思维能力与形象思维能力。
教育部在全国教育工作会议上指出：教育当然需要传授知识，把人类获得的知识传授给下一代。但更重要的是培养独立思考的能力，培养学生运用获得的知识去解决面临的新问题的能力，培养他们继续获得新知识。善于总结新的经验，发展新的科学理论的科学的思想方法。为了适应现代化的需要，我们教师有必要不断地改进教材教法，挣脱影视教育的束缚，努力培养具有良好学习能力和创造能力的学生。