费学芳
肥东县第三中学，安徽 合肥 231600
摘要:几何变换是新课程中学数学中的一个重要的思想方法。在教学中，怎样培养学生灵活运用几何变换解决几何问题，也成为了教学中的重点。本文论述了几何变换中反射变换、平移变换及旋转变换的定义以及通过经典的问题来介绍几种变换在解题中的应用。
关键词：几何变换、反射变换、平移变换、旋转变换
一、 反射变换
1.1反射变换的定义
设是平面上的一条定直线，是平面上的变换，是一对对应点，如果线段被直线垂直平分，那么称为反射变换，简记，为反射轴。
1.2反射变换在解题中的应用
例1、如图，在公路一边有两个村庄和，现在要在公路上修一个车站，使车站到两个村庄的距离之和最短，请画出车站的位置并说明画法。
分析:本题考查的是最短线路问题，熟知反射变换的性质及两点之间线段最短的知识是解答此题的关键。画出点关于直线的反射点，连接交直线于点，连接，由反射点的性质可知，由两点之间线段最短可知点即为所求点。
解答:画出点关于直线的反射点，连接交直线于点，连接，∵关于直线对称，∴，∴，两点之间线段最短可知，线段的长即为的最小值，故点即为所求点。
二、 平移变换
2.1 平移变换的定义
平移变换简称平移或直移，即在平面上，点沿着某个方向平移一定的距离得到点，这样的变换即平移变换。
2.2 平移变换在解题中的应用
例2、如图，在中，，求证：.
分析：本题涉及到证明的几条线段虽然都相交于一点，但对于证明一个几何不等式不是很方便。条件有，运用平移变换，将平移到的位置，问题就迎刃而解。
证明：如图所示，分别过点作的平行线，两线相交于点，于交于点.则，在和中，，所以.所以，在中，，在中，，所以，即，所以.
三、 旋转变换
3.1 旋转变换的定义
旋转变换简单来说就是一个图形绕一个点旋转得到另一个图形的变换。如果用数学语言来表达，旋转变换也可作如下定义：在平面上有一个点，是给定的有向角，是平面上的变换，满足：对于任意一对的对应点，总有，，则称变换是以点位旋转中心，为旋转角的旋转变换，记为，且，或记为。其中是正角，则说明是逆时针旋转，反之亦然。
一般地，旋转中心相同，旋转角相差的整数倍的旋转变换均是相同的变换，即
当时，即为恒等变换。
3.2旋转变换的应用
例3、在内有一点，满足，求证：点是到三顶点之和最小的点.
分析：将绕着点顺时针旋转，则的和就是线段的长度，在内任取一点，将绕着点顺时针旋转，那么到的距离和构成了三角形的三边长度，利用三角形三边长度关系，问题就迎刃而解。
证明：如图所示，对进行旋转变换，得到.∵，∴共线，且.
在内任意取一点，连接，对进行旋转变换，得到，则.则
所以点是到三顶点之和最小的点.
四、 结束语
几何变换的思想在一定程度上指导着数学解题，在日常的教学过程中，教师要有意识地去培养学生通过几何变换的思想去解答初等几何的问题，由浅入深、循循善诱，让学生潜移默化的掌握这种方法。
本文论述了反射变换、平移变换和旋转变换的定义以及在中学数学平面几何问题中的应用。通过这些例题不难发现几何变换能够简单、快速的解决平面几何的问题，可以培养学生的几何思维，值得我们研究。
【参考文献】
[1]张强.提高初中几何变换解题中的应用[J].河南师范大学学报.2017（11）：142.
[2]解祥海.初中数学培养学生几何意识策略[J].考试周刊.2017（22）：56—57.