徐金龙
佛冈县佛冈中学 广东 清远 511600
摘要：数学概念是数学知识的基础，学好数学概念是学好数学的关键。通过文献资料对有关数学概念教学的研究，结合教学实践经验，针对高中数学概念教学的现状，运用变式教学指导高一学生对数学概念的学习，将变式教学贯穿于概念教学的四个阶段（引入阶段、辨析阶段、巩固阶段、深阶段）进行研究。
关键词：变式教学、概念教学、高中数学
大部分的数学概念来源于社会生活，而社会生活的很多问题又可以由数学概念做出科学解释。若要对一个数学概念的本质深刻剖析，必然得了解其来龙去脉。概念形成是从客观实际和具体经验生活之上建立起来的，然后通过类比猜想、比较归纳、概括总结等思维过程将现实问题数学化之后获得的。概念同化是深入揭示概念的关键特点，通过联系实际、整理分析、综合处理等思维过程获得概念的延伸。概念学习“要有大用处的话，那么这个概念应当是在现实世界的刺激条件下能够被识别的”。在教学过程中，教师不只是单纯对数学概念让学生接受、记忆、模仿和练习，更加重要的是让学生主动探索，在多种活动过程中获得新知激发学生的学习兴趣。以下，笔者将从变式的角度对高一数学概念教学的每一个阶段（引入、辨析、巩固、深化）分别展开讨论。
一.概念引入阶段
由于许多数学概念都是在客观实际的需求中产生的，所以在引入概念的时候，要首先了解学生已有的知识和生活经验。奥苏泊尔认为，教学活动是影响学生学习的关键因素，它可以让教师了解学生已知了什么。若采用变式的角度进行概念教学时，教师可以首先创设恰当的教学情境，即从实际生活中引用大量的具体的直观材料或实例模型，选择这些材料或模型的前提是具有关于数学概念来源的相同或类似的关键特征或属性，进而引导学生自主操作、观察、猜想、交流等数学活动分析这些材料或模型的共同特征或类似属性，并将这些共
同特征或类似属性进行整合形成数学概念，在这过程中也可以让学生深刻感受到把实际问题数学化的过程。
案例 1.引入指数函数概念的变式
可通过如下变式：
（1）提出问题：我有一张白纸，把它撕成两半，将它们重叠后再撕一次，重叠后再撕一次，那么撕3 次后把所有的纸重叠放置有多少层？5 次呢？15次呢？
（2）若一张纸厚 0.1mm，那么撕纸15次后把所有的纸重叠放置有多高？有一人高吗？若撕扯20次呢？（计算出撕纸15次后得到32768 张纸，重叠后的高度为3.2768米,撕纸20次后的高度为104.8576米）
（3）你能建立在纸的张数y与撕纸次数x 间的函数关系式吗？
在这里，（1）中连续提出了三个问题，“不变”的每撕一次纸后重叠，“变”的是撕的次数越多，层数越多，启发学生找撕纸的次数与层数之间的关系，并且可以让学生主动参与活动中来。第二个问题的设计是在第一个问题的基础上，进一步明确不变的量和变化的量，此外，为学生初步直观感受指数函数爆炸性的变化规律作铺垫，并激发学生继续探究的兴趣。由此启发学生思考第三个问题，得出自变量与因变量的关系，从而建立函数关系。从解析式的形式中发现并概括解析式的共同特征：幂的形式；幂的底数是一个正的常数；幂的指数是一个变量。从而给出生活中存在这样的函数。
它们表达式的右边是一个以大于0的常数a为底数，以自变量x为指数的幂的形式，
我们称之为指数函数。即可得到指数函数的定义。
数学概念是抽象的，但其来源于现实生活，因此教师可以将现实生活中大
量具有关于概念共同特性的活生生的例子、现象或模型作为概念教学最近的切入点，让学生了解和体会从现实情境向数学化情境转化，建立感性经验和抽象概念之间的联系，让学生感知数学概念也是具体的，数学无处不在。
二.概念辨析阶段
人们常说“理越辩越明”，在概念形成后，学生虽然知道了概念的内容是什
么，但还不能深刻理解概念所属的范畴，比如我们知道函数定义的内容是什么，
那么数列是不是函数呢？为了让学生明确概念的界限，我们可以从概念的正面、
反面或侧面多重举例进行判断和辨别，由学生自己从教学情境中发现在概念理
解中的漏洞、不足和缺陷，使学生对数学概念的认识更加清晰明了。
案例 2.辨析函数的奇偶性概念的变式
判断下列函数的奇偶性：
(1)
④
(2)
④
(3).
(4).
在讲授完函数奇偶性的概念后，学生初步知道，若则函数是奇函数，若，则函数是偶函数。然而学生可能并不能领会奇函数和偶函数的隐含要素，这就要求学生学会判断函数的奇偶性。通过这组变式题，对于设计（1）与（2）的变式题型，我们观察发现，函数的解析式相同，而定义域不同，那么奇偶性是否相同呢？对于（3）的设计，更进一步地要强调定义域对于判断函数奇偶性的重要性，这让学生对奇偶性概念的内涵和外延有了更深层次的理解，即判断函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，再考虑函数的解析式，这样可以引导学生快速整理对奇偶性的内在联系和规律总结。在教学过程中要设计一些有陷阱的变式题组，将学生的错误充分曝光，让学生自己与已有知识发生冲突和矛盾，进而引发学生对概念学习的探索。
三.概念巩固阶段
当让学生明确概念所属的范畴后，为了使后续概念的学习更加牢靠，我们需要对概念进行进一步的夯实和巩固。教师可以从变式的角度精心设计一些具有目的性、层次性、思维导向性等的变式题组，学生通过对变式题组的探索和解答，逐步让抽象的概念具体化，转化成学生固有的知识。在这里，目的性即就是教师设立的变式题组是为完成既定的教学目标；层次性就是教师设立的变式题组要由浅入深、由易到难，逐步让学生解决问题；思维导向性就是教师要循循善诱，让学生的思维逐步迈向更高水平。
案例3.巩固函数图像的变式
变式(1)画出函数的图像
变式(2)画出函数的图像
变式(3)画出函数的图像
第一个函数的图像是我们初中所学过的反比例函数的函数图像；第二个函数的函数图像是在第一个函数图像的基础上向右平移一个单位得到的；第三个函数的函数图像是在第二个函数图像的基础上又向上平移一个单位得到的。通过这样一组变式题，让学生逐步体会函数图像的变换所遵循的规律。
四.概念深化阶段
在学生完成对概念的巩固之后，学生对概念的学习并没有停止，还需要更深入的应用概念解决数学问题、发展学生的思维。因此教师应继续采用变式题组或概念的等价变式引导学生探究，从不同的维度解释概念，让学生的知识内化和升华。
案例4.深化斜率定义的变式
对斜率更深层次的认识：
在日常生活中，斜率表示坡度（比）=。
在三角函数中，斜率表示直线倾斜角的正切值，即。
在解析几何中，斜率表示一条直线的倾斜程度：已知两个点和点的坐标，那么这两点连成的直线的斜率为：。
在代数学中，斜率表示一次函数中的系数；
在微积分中，极分的定义用切线的斜率表示。
对案例4中概念的深化变式，在不同的变式中寻找相同的规律，有助于学生透过现象充分认识数学概念的本质，完成对概念的多角度理解。教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，把数学知识不断拓展，将其模块化，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，从而构建认知经验系统，形成自己的知识体系，以便于提高分析问题、解决问题的能力。
参考文献
[1]涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007,229.
[2]涂荣豹，宁连华，徐伯华.中学数学教学案例研究[M].北京：北京师范大学出版社，2011,9
[3]刘式良.高三数学变式教学实验研究[D].昆明：云南师范大学，2006