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微元法原理严谨性探究

发表时间：2021/6/22 来源：《教学与研究》2021年第7期作者：赵江鹏

[导读] 利用微元法求总量时，要求总量在某区间具有可加性

        赵江鹏
        云南工商学院数学教研组，昆明 651701）
        摘要：利用微元法求总量时，要求总量在某区间具有可加性，且总量的任意分量满足等式，即，此时总量[1]，但分量往往难以直接计算，这就导致的正确性难以验证，从而让微元法的理论根基显得不严谨，本文以微元法计算平面曲线弧长为例，探讨如何解决以上问题，并给两种正确的微元选择方法并给予证明.
        关键词：微元法；高阶无穷小
1. 引言
        微元法在物理学中常用来计算总量，在数学分析教材中给出了其原理及使用方法，见参考文献[1]，但在文献[1]中，对微元的选取并未给出严谨证明，在使用该方法时存在一定的误用的可能，如在旋转体表面积计算过程中，微元的选取可以选择梯形侧面积作为面积微元，也可以选择圆柱的侧面积作为面积微元，但将圆柱侧面积作为微元的计算显然是错误的.在教材[1]理论分析部分，并未给出避免这种微元选择不当的易操作的方法和策略.所以导致在实际使用微元法时，微元的选择几乎完全凭经验，靠直觉，这严重背离数学严谨性的特征.
2.微元法使用时存在的问题陈述及剖析
        在使用微元法计算总量（弧长、面积、体积等）时，如何选择微元至关重要.但目前微元的构造没有明确的方法，教材中只是要求当成立时，可以把当成微元，即是微元选择的可供参考的主要依据.但是是一个不容易计算的量，所以验证否成立，也变得困难起来.下面以旋转体的侧面积计算为例，说明微元选择的易错特点.
        如图（1）旋转体的母线是光滑的连续曲线，在区间分割中，选取，作为研究对象.在图（1）中，要计算旋转体的表面积，在对区间分割以后，取近似时，可以有两种方式.方式一是用线段AB近似代替曲线AB，方式二是用线段AC近似代替曲线AB.下面通过计算探究两种方式的正确性.

4.结语
由以上分析可知，在计算以区间上的曲线为母线的旋转体表面积时，微元的选择分式并不唯一.但有些微元的选择是错误的.在文章中已给出验证过程.同时文章还提除了两种的但经验证都是正确的微元选择方式有充分的理由认为，微元法中正确的微元的选择方法不止以上两种.
[参考文献]
[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］．3版．北京：高等教育出版社，1981:247-248.
[2]华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］．3版．北京：高等教育出版社，1981:49.