陈晶晶
武汉纺织大学 数理科学学院 430074
内容摘要： 本文主要介绍二项式中(1+X)
n类型展开式生成函数法证明恒等式，(1+X)
n是二项式定理(X+Y)
n中令Y=1得到的推论，本文将以例题讲解的形式引入(1+X)
n型的生成函数，通过赋予特殊值和比较相同项的系数证明恒等式；
关 键 词： 二项式展开式 组合恒等式 生成函数
作者简介：陈晶晶（1972.12- ），女，汉族，湖南衡阳人，硕士研究生，副教授，研究方向：运筹学与控制论
组合恒等式在数学及其应用中有非常重要的地位，其证明方法灵活多样，应用组合数的基本性质去证明组合恒等式是最常用的方法，其他方法还包括数学归纳法、组合分析法、递推法、生成函数法等。本文主要介绍二项式中(1+X)
n类型展开式生成函数法证明恒等式。(1+X)
n是二项式定理(X+Y)
n中令Y=1得到的推论，本文将以例题讲解的形式引入(1+X)
n型的生成函数，通过赋予特殊值和比较相同项的系数证明恒等式。
（一）赋予特殊值法
.png)
（二）比较相同项的系数
.png)
分析：用比较相同项系数的方法来证明组合恒等式主要难点为母函数的选取，在例2中
.png)
分析：利用二项式展开式作为生成函数证明组合恒等式，一般是将两个或者多个二项式相乘，左右分别展开，然后比较两边适当的相同项的系数，从而得证。我们选取的基本多项式一般为(1+x)
n、(1-x)
n、(1+x
-1)
n，在等式左右两边都是比较明显的二项式展开式的系数时，可先仔细观察，利用几个基本二项式展开比较系数即可得证。
.png)
分析：当左边式子中(
nk)的系数为k+1时，此时考虑
.png)
，但二项式展开式x
k前的系数是(
nk)，故而考虑在前面乘上x，当(
nk)前的系数为k-1时在前面乘上1/x即可，同理可知证明在组合系数(
nk)前乘上系数j类型的恒等式，均可先在基本的生成函数前乘上关于x的整式。
二项式展开式在数学中的应用非常广泛， 在证明组合恒等式中有着不可取代的作用。二项式在概率论以及数学建模中各种应用，对实际生活及理论研究都有举足轻重的作用。
参考文献：
[1]赵海霞，陈利霞，段雪峰. 组合恒等式的证明方法. 高等数学研究. 1995:1008-1399.
[2]杜庆坤. 组合恒等式的证明技巧. 临沂师范学院学报. 2003:1009-6051.
[3]柴学林. 组合恒等式的证明方法. 兰州教育学院学报. 2014:1008-5823.
[4]曹汝成. 组合数学（第二版）.华南师范大学出版社. 2012.