郭丽娜
云南工商学院 云南省昆明市 651700
摘要： 研究一个中心具有裂纹的弹性体（弹性裂纹体）在获得初始膨胀动量后的断裂过程。采用线弹性波动方程组描述弹性体的动力学关系，采用线性内聚力断裂模型描述裂纹的扩展行为，建立弹性裂纹体在三种边界条件，即匀速移动边界、固定边界和自由边界条件下的变形-断裂模型。为进一步研究边界条件对断裂发展过程的影响具有很重要的意义。
关键字：含内聚力裂纹的弹性体，高应变率膨胀，动态断裂
中图分类号：O3
1引言
应力波导致固体材料发生动态断裂的现象久为人知。Hopkinson首先报道了应力波作用下脆性杆的动态拉伸断裂现象[1]。Rinehart和Pearson[2]，Kolsky[3]等人在他们的经典著作中研究了层裂和动态断裂问题。与静态断裂相比，应力波与动态断裂之间的相互作用不但物理现象复杂，而且数学处理困难，通常涉及复杂边界条件下的波动方程（或方程组）求解。
本文研究一个包含内聚裂纹的弹性固体在给定初始膨胀动量下的动态扩张和断裂过程。通常情况下如果材料内部同时出现多个裂纹而发生碎裂，则必须考虑裂纹与裂纹之间的相互作用[4，5]。对于一个包含一个裂纹的代表单元体，这种裂纹之间的相互作用可以通过某种边界条件来描述[6，7]。本文给出代表单元体内部的一维应力波传播方程组和初始速度条件，结合裂纹的线性内聚力扩展模型（linear cohesive fracture model），并分别考虑匀速、固定、和自由三种边界条件，建立了完整的初边界值问题。
2含内聚裂纹的弹性体的动态断裂模型的控制方程组
考虑一个以等应变率膨胀的一维弹性体，在时刻弹性体应力达到临界断裂强度，此时弹性体内部出现断裂成核点。对于一个长度为L的单位裂纹体MN（图1（a）），O点为裂纹成核点，由对称性，取裂纹体一半OM进行分析。以O为原点建立Lagrange坐标系x，沿x方向材料质点速度线性分布。区域OM（）的应力和速度随空间坐标x和时间的变化规律满足弹性动力学方程组：
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（1）
其中为材料密度，E为Young氏模量。
图1 （a）裂纹体示意图；（b）线性内聚力断裂模型
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3定解条件
3.1初始条件
在t=0时刻，弹性体达到临界断裂强度，且材料具有均匀的向外膨胀速度，初始条件为：
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（2）3.2左端边界条件
在裂纹成核点，位移和边界应力之间满足线性内聚力断裂关系：，其中为材料分离过程中的内聚力，为材料分开位移，为材料强度，为材料分离所消耗的表面能。图1（b）描绘了内聚断裂～曲线，曲线起始点应力为，下方包含的面积为。由对称性，在裂纹成核点材料的位移，经简单推导，左端裂纹处边界条件为：
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（3）3.3右端边界条件
考虑右端边界为匀速拉伸
匀速边界：
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（4）
偏微分方程组（1）、初始条件（2）、左边界条件（3）以及右边界条件（4）构成描述裂纹体动态断裂过程的完整初边值问题。
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图2 右端边界的三种情况
4无量纲化
根据文献[4]，对于具有Young氏模量，弹性波速，拉伸强度和断裂能的脆性体，可选用如下特征参量：应力，速度，时间，应变率，和长度将问题无量纲化，形成完整的初边界值问题：
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右端边界条件有三种情况：
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可见，在无量纲时间-空间坐标系下，裂纹的扩展行为仅仅取决于无量纲材料强度，无量纲应变率，和无量纲裂纹长度。
5结论
分析1D含裂纹脆性固体发生动态膨胀变形-断裂过程，利用未断裂体的弹性动力学关系和裂纹的内聚性断裂模型，并分别考虑三种不同边界条件，建立三种不同的完整的初边值问题，采用脆性体性质相关的特征量将问题无量纲化，得到控制裂纹扩展过程的关键无量纲参数。
3参考文献
[1]B. Hopkinson, The Effects of the Detonation of Guncotton, Scientific Papers, Cambridge University Press, Cambridge, 1921.
[2]J.S. Rinehart and J.Pearson, Behavior of Metals under Impulsive Loads, American Society of Metals, Metals Park, Ohio, 1954
[3]H. Kolsky, Stress Waves in Solids, Dover,NJ, 1963
[4]F. Zhou, J-F. Molinari, K.T. Ramesh. A cohesive-model based fragmentation analysis: effects of strain rate and initial defects distribution. International Journal of Solids and Structures, 2005, 42:5181-5207
[5]周风华，王永刚.影响冲击载荷下脆性材料碎片尺度的因素[J]. 爆炸与冲击，2008， 28（4）：298-303
[6]周风华，王礼立. 脆性材料中断裂点阵列的扩张行为及间隔的影响 [J]. 力学学报
[7]F. Zhou, L. Wang. Energy Transform in a Brittle Fragmentation Process and the Estimation of Fragment Size [J]. International Journal of Strength, Fracture and Complexity, in press.