邓印升
昆明重工中学 云南省 昆明市 650203
摘要：在解答几何证明题时，应明确证明的目标，充分提取题目中的文字信息和几何图形中的隐含有效信息，将这些信息整合，找出内在关联并创通，形成完整的信息链条，从已知通向目标。在解答过程中要鼓励学生从不同的角度去分析问题和解答问题，来拓宽学生的思维广度。
关键词：平面几何；一题多解；思维
笔者所在区在4月中旬进行了九年级一模测试，其中第21题的第一小问是一道以圆为背景的切线证明题。在试卷讲评的时候发现本题存在着诸多解法，整理后感悟颇深，故撰此文与同行交流。
1原题呈现
如图，AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上异于A、B的两点，连接OD、CD，交AB于点F，AC=DC，过点C作CE⊥DB延长线于点E.，求证：CE是⊙O的切线
题目分析：本题是一道圆的切线证明题。由圆的切线的判定定理可知，要证明CE是圆O的切线，首先需连接OC，接下来只需证明OC等于半径、OC⊥CE即可，由题（点C在⊙O上）可知OC是半径，所以只需证明CE⊥OC。
2 解法展示
证法1分析：要证明OC⊥CE就要证明∠OCE=90°，而∠E=90°，所以只需证明OC∥DE，即证明∠CDE=∠OCD，本题易知∠CDE=∠A=∠ACO,到此距离目标只差一步，而题干给出AC=CD，可以利用其证明三角形全等，来创造条件∠ACO=∠OCD.
证法1：连接OC，在△AOC和△DOC中，OA=OD,OC=OC,AC=DC
∴△AOC≌△DOC（SSS）
∴∠ACO=∠DCO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠DCO
∵弧BC所对的圆周角为∠A与∠CDE
∴∠A=∠CDE
∴∠DCO=∠CDE
∴OC∥BD
∴∠OCE+∠E=180°
∵CE⊥DE
∴∠E=90°
∴∠OCE=90°
∴OC⊥CE
∵OC是⊙O的半径
∴CE是⊙O的切线
解后分析：本题从几何图形中可以挖掘出来隐含信息∠CDE=∠A=∠ACO，再结合题干信息AC=DC进而得到∠ACO=∠OCD，OC∥DE.在此种解法中不仅考查了圆的切线的判定定理，还充分考查了等腰三角形的性质、圆周角定理及全等三角形的证明和性质。
证法二分析：通过上述解法1后，我们容易想到利用互余来证明OC⊥CE,将互余中的一个角∠CDE通过等量代换“转移”至∠OCD,由此得到∠OCD+∠DCE=90°。
证法2：由证法一得∠DCO=∠CDE
∵CE⊥DE
∴∠DCE+∠CDE=90°
∴∠DCO+∠CDE=∠OCE=90°
∴OC⊥CE
∵OC是⊙O的半径
∴∠A=∠CDE
∴CE是⊙O的切线
解后分析：此种解法与解法一的思路类似，不同的是利用“直角三的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”来进行证明。这两种解法比较常规，学生也容易理解和掌握。
证法三分析：由题干信息“AC=DC”，想到构造等腰△ACD,由此可以发现图中就有四个等腰三角形，通过“等腰三角形的性质”和“等式的基本性质1”来“联通”角，此后可用“平行”或“互余”来证明垂直，这里只给出了其中一种来证明。
证法3：连接OC、AD
∵AC=DC,OA=OD
∴∠CAD=∠CDA，∠OAD=∠ODA
∴∠CDO=∠CAB
∵OD=OC
∴∠ODC=∠OCD
∵弧BC所对的圆周角为∠CAB与∠CDE
∴∠CAB=∠CDE
∴∠OCD=∠CDE
∵CE⊥DE
∴∠DCE+∠CDE=90°
∴∠OCD+∠DCE=∠OCE=90°
∴OC⊥CE
∵OC是⊙O的半径
∴CE是⊙O的切线
解后分析：此种解法主要是与解法1、2的不同之处在于将题干信息AC=DC进一步运用的不同，解法1、2是将条件AC=DC用去证明三角形全等来“联通”角，解法3是将条件“AC=DC”用去构造等腰三角，运用“等式的性质1”和“等腰三角形的性质”来“联通”角。
证法4分析：由几何图形信息AB是直径升华得到隐含信息直径所对的圆周角是直角，再有信息OA=OD、AC=DC联想到垂直平分线的判定定理，那么就不难想到构造矩形来证明OC⊥CE
证法4：连接AD,连接CO并延长交AD于点H
∵CA=CD,OA=OD
∴CH是AD的垂直平分线
∴∠CHD=90°
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵EC⊥DE
∴∠E=90°
∴∠E=∠ADE=∠CHD=90°
∴四边形CHDE是矩形
∴∠HCE=90°
∴OC⊥CE
∵OC是⊙O的半径
∴CE是⊙O的切线
解后分析：此种方法学生需具备一定的几何素养，方法不太常规，学生不易想到，但是理解起来并不困难，过程也相对较为简洁。
3 解题反思
（1）明确方向，提取有效信息
以上四种方法殊途同归，又各具特色。首先，明确我们的目标是要证明CO⊥CE，其次，结合图形等量关系和所学知识来思考证明垂直的基本方法，抓住基本图形中的等量关系，最后，结合已知条件将角的等量关系梳理清楚，转化出来切点垂直。在解决问题时，要注意从等量和图形两个方面寻找突破口，提取有效信息并进行整合，形成完整的知识链。
（2）辨解法优劣，优化解题方法
本题虽然解法多样，但是各有优劣。前两种解法比较常规，辅助线只需添加一条，学生容易想到，也相对来说容易理解。解法四，做辅助线是一个关键，不难理解，但是学生在做题时不易想到。在平时训练学生时，要引导学生及时总结解题方法并能辨析解法的优劣，找出最优的解题方法，提高解题的速度，掌握题型的最优解法。
（3）拓宽思维，激发学生积极性
这样的问题可以使我们的解题思路开阔，培养发散思维能力，有助于培养激发我们的学习主动性、积极性、趣味性，也有助于全面提高学生知识水平和思维广阔性。想要掌握一题多解的方法，平时就要重视夯实基础，在解题过程中多动脑筋，多找方法，才能顺利解决有难度的几何问题。
参考文献：
[1]王秋月.顺着条件区关联 沿着途径去思考.中学数学教学参考（中旬），2020（11）:30-32.
[2]吴红冉.图形多样化 思路多角度拓展.中学数学教学参考（中旬），2020（11）:59-62.