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高中数学教学中反例的运用探讨

发表时间：2021/7/1 来源：《中小学教育》2021年8月2期作者：王岭荣

[导读] 在高中的学习中，数学这门学科一直困扰着许多学生，大多数高中生因为高中数学的抽象性和极强的应用性而谈“数”色变。对于高中数学老师来讲，在提高学生的数学水平和应对数学习题的能力上也是费尽苦心。“反例教学”的方法也逐渐备受重视，运用反例的思维来思考数学问题，往往能让复杂的问题简单化，有着事半功倍的效果。本文中笔者结合自身多年的教学经验，总结出以下几种高中数学的反例运用。

王岭荣黑龙江省双鸭山市第三十一中学 155100
【摘要】在高中的学习中，数学这门学科一直困扰着许多学生，大多数高中生因为高中数学的抽象性和极强的应用性而谈“数”色变。对于高中数学老师来讲，在提高学生的数学水平和应对数学习题的能力上也是费尽苦心。“反例教学”的方法也逐渐备受重视，运用反例的思维来思考数学问题，往往能让复杂的问题简单化，有着事半功倍的效果。本文中笔者结合自身多年的教学经验，总结出以下几种高中数学的反例运用。
【关键词】高中数学，反例教学，问题简单化
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）8-112-02

        一、高中数学定理、公式的反例理解
        众所周知，高中数学的基础是对定理、公式的理解，尽管高中数学习题复杂多变，但百变不出其中的都是考察学生对相关定理、公式的理解。只有将这些定理、公式的内涵彻底理解，方能在应对数学习题或考试中时做到“以不变应万变”的地步，提高个人的数学核心素养。但是，大多数同学对枯燥的数学定理、公式很反感，甚至部分同学排斥这些基础的数学知识。就拿“常用逻辑用语”这一知识点举例来讲，逻辑用语中的真假命题判断是许多学生很容易出错的地方，特别是在遇到不容易判断的命题，部分同学往往束手无措，此时，就可以运用反例的方法来判断，特别的是要熟练掌握命题之间的关系（两个命题互为逆否命题，真假性相同；两个命题为互否命题或互逆命题，真假性没有关系）这样的话运用反例的方法，很容易进行判断命题的真假，提高学生做题的正确率和效率。例如：若命题“R，使得+m+2m-3＜0为假命题。则实数m的取值范围为多少？”对于这个问题，从正面来讲，是相当不容易计算出答案的，这就要用的反例的思维来解题。根据所学知识可以写出非命题“使得为真命题”这样一来就转化成学生常见的问题了，即求一元二次方程的的取值范围，也就是-4（2m-3）0，解得m［2,6］。这样这道习题都快速的得到解决。
        二、高中数学习题的反例破解
        高中生面临最大的考验就是高考，而高考分数高低可以说是决定了大部分学生未来的人生，要想在高考中取得好成绩，数学的重要性不言而喻。而目前许多学生存在的状况是数学考试中时间不够用或者是不会写的题乱蒙，每次下考场，当学生知道这道题的解题思路后都十分后悔，有的学生还互相讨论自己本可以做出来的试题，因为没有时间而不得不放弃或者是不该没有思路而乱蒙。出现这种情况的学生，一般分为两种学生，其一就是平常都爱钻牛角尖的学生，考试中因为对一道题的钻研而不顾大局，或者是遇到以前似曾相识的题，学生自己认为这道题可以写出来，就一直计算，浪费时间。其二就是那些数学基础较差的学生。当遇到暂时不会解的试题时，不妨换个角度看问题，特别是针对选择题中的11、12题，填空题中的第16等其他有难度的题。在这里要重点说选择题的11、12题。

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一般来说选择题第11多涉及对圆锥曲线、三角函数的知识点的考察。第12题多涉及函数应用、有关几何图形切割应用问题等。例如2017年全国一卷数学卷（文科）中的第11题“三角形ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c。已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A=B=C=D=”针对这个问题，考察的是三角函数的转化和正弦定理，但是对于基础较差的学生来说，这道题需要花费较多的时间或者压根不会做，针对这种情况，我们就可以用反例的方法来做，可以从特殊角入手，比如可以假设C=，那么根据正弦定理直接算出A角度数为，进而可以算出B角度数这样带入题干验证，这样可以得到正确答案C=。利用反例可以让数学基础相对较薄弱的学生更好的理解部分试题的意思，从而做到快速解答。
        三、高中数学教学中的反例应用
        据调查，高中数学知识点大约为3000多个，其中包括259个核心考点和120个常考题型。所以对于高中生来讲，虽说有一些知识点有着鲜明的区分度，但对于那些相似度较高的知识点，学生的确很容易记混淆。而运用反例的方法，也很容易区分，且让学生记忆更加牢固。
例如，再讲映射概念时，如果从定义上来说，相信很大部分学生都会对其概念比较模糊。映射定义：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个映射.单单从定义上来看，可以说是十分抽象的，在教学时很难让学生对映射这个概念进行理解，如果可以通过具体反例引导学生，那么会有事半功倍的效果。像教师在讲解对映射概念的理解时，有学生不理解为什么映射不能“多对一”？此时，不妨引用这个反例：假设A的集合={金鱼1号、金鱼2号、金鱼3号}，B的集合={鱼缸1号、鱼缸2号、鱼缸3号、鱼缸4号}，这样来看A集合中的元素——金鱼，在B集合中都找到“家”——鱼缸，即每条鱼都有能够居住的鱼缸（一对一），也可以两条鱼住进一个鱼缸（多对一），但绝对不可能是一条鱼同时住两个鱼缸（不能一对多）运用这个通俗易懂的例子，让学生清楚理解为什么映射不能多对一。同时可以运用图像的方法进行教学，让抽象复杂的问题简单化，如图1和2，显然图1不是函数图像，图2是函数图像。（函数是一种特殊的映射。）
        通过通俗易懂的反例和一目了然的图像让学生更容易映射的概念，这就达到了高中教学的效果。
        总结
        高中阶段是学生成长的重要阶段，教师在教学中不能一味的向学生传输知识，要引导学生进行发散性思维，做到知行合一，在明白“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的道理，教师也要通过反其道而行的方法，适当灵活运用反例，促进高中数学教学的变革。
参考文献
【1】费倩.高中数学教学中反例的运用[J].教育.2019.（4）
【2】张鹏.巧借反例活化高中数学教学[J].中学数学.2020.（9）
【3】陈才丽.巧借反例教学创新高中数学教学[J].理科考试研究（高中版）2015.