谢荣晖
安徽开源路桥有限责任公司 合肥 230088
摘要：介绍了一种基于状态空间理论的多自由度结构系统动力响应分析算法，将结构动力学的平衡方程经过一定的变换得到状态空间方程，再将该方程嵌入卡尔曼滤波算法，最终得到多自由度系统的状态随着系统输入的实时更新。将该算法运用于混凝土重力坝算例，分别进行不同观测噪声水平的动力响应计算，并且将得到的动力响应信息与有限元软件数值模拟的结果进行比较，均具有较高的相似度，说明该算法的有效性，并且抗噪能力强，具有一定的工程应用价值。
关键词：状态空间理论；重力坝；动力响应；振动
一、引言
结构的动力响应分析和求解方法主要有振型分解反应谱法[1-2]、底部剪力法[3-4]和时程分析法[5-6]。振型分解反应谱法计算精度较高，但是其需要用到结构的前大多数阶振型，而实际结构的自由度相当大甚至无穷大，这必然导致计算量的剧增，实际应用时具有一定的不可操作性；而底部剪力法仅适用于以剪切变形为主的重量和刚度沿高程分布均比较均匀的结构（否者会出现鞭梢效应[7]），当建筑结构的高度在40m以上或者结构的基频较小时，地震作用下将不能忽略结构的高阶振型影响，这必然导致其计算精度的降低；理论上，时程分析法是最准确的结构动力响应分析算法，可以在全时域内对结构进行实时分析[8-9]，但是由于其求解的复杂性以及外界激励的随机性，在实际工程运用时具有一定的困难，但随着计算机技术的发展和控制论中状态空间理论的发展，为这一精确方法的实际运用提供了捷径。
二、结构动力学的状态空间方程
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由（8）式可知，只要确定系统矩阵A和控制矩阵B，以及初始条件和基底激励，即可获得结构状态的实时更新。状态空间法可以将多自由度系统相互耦合的振动方程解耦成互相独立的单自由度系统的振动方程，并对其分别求解，使复杂结构动力学问题简单化，计算效率高且精度好。
三、实例
根据混凝土重力坝基本剖面的设计原则[10]，假设某混凝土重力坝的典型断面如下：坝顶宽度为2m，坝底宽度15.4m，坝高22m，上游坝坡坡率n=0，下游坝坡坡率m=0.744，取单位宽度作分析。该混凝土重力坝模型在坝底受到按时程分析的6度地震作用，地震的频率为100Hz，即△t=0.01s，整个地震持续时间为25s，基底加速度曲线如图1所示。现对该混凝土重力坝进行结构一维时程分析时，根据文献[11]，一维动力分析可将重力坝视为一根固接于地基上的悬臂梁，如图2所示，将断面分成10段，即离散为10个质点，质量矩阵采用集中质量的方法，刚度矩阵采用柔度矩阵的逆矩阵计算，阻尼矩阵采用Rayleigh阻尼，即
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式中α、β为比例系数，可采用最小二乘的方法确定[12]，阻尼比取为0.05。
将结构的加速度响应作为观测量，分别模拟含有5%、10%和15%观测噪声的观测量，5%噪声指噪声的方均根为观测值方均根的5%，以此类推。
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将上述质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和基底加速度带入状态空间方程的递推公式，分别模拟不同的观测噪声水平，再将状态方程嵌入卡尔曼滤波，即可得出各种情况下该重力坝结构各质量集中点动力响应的位移时程和速度时程。为比较判断，将上述结果与有限元计算出的响应信息对比，分别得出坝顶相对位移时程和速度时程对比图如下（为防止时间间隔过短造成图像太密集，只显示出时间间隔0.5s的响应过程线）：
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由上图可以看出，采用嵌入卡尔曼滤波的状态空间方程方法，对于相同的基底加速度，不同观测噪声水平的计算结果与有限元软件计算结果均具有很好的一致性，不同观测噪声水平的动力响应之间也比较接近，表明本文提出的方法具有一定的可信度，并且具有很好的抗噪性，而工程实际中，特别是水工结构的测量数据都具有很大的噪声干扰，故此方法在水工结构中具有一定的应用价值。
四、小结
给出了一种基于状态空间理论的多自由度结构动力响应分析算法，将结构动力响应的状态空间方程嵌入卡尔曼滤波算法，最终得到多自由度系统位移和速度响应随着系统输入的实时更新，将实例的分析结果与有限元软件计算结果对比，可知本文提出的算法具有很高的精确性，并且具有很好的抗噪能力，特别适合含有大量噪声干扰的水工结构工程的监控研究，具有一定的工程应用价值，
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作者简介：谢荣晖（1990-），男，工程师，从事水利工程、路桥工程相关的设计、施工、管理、研究工作。