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浅析问题驱动下的高中数学概念教学

发表时间：2021/7/5 来源：《教育研究》2021年8月作者：付燕李明

[导读] “问题驱动”下的概念教学，将教学目标转化成“问题”，课堂教学以问题为基点，充问题出发展开教学，启发学生独立思考，引导学生自觉主动地探索、分析和解决问题，在解决问题的过程中形成相应的概念与原理，培养学生的逻辑推理能力。

四川省简阳中学付燕李明

【摘要】“问题驱动”下的概念教学，将教学目标转化成“问题”，课堂教学以问题为基点，充问题出发展开教学，启发学生独立思考，引导学生自觉主动地探索、分析和解决问题，在解决问题的过程中形成相应的概念与原理，培养学生的逻辑推理能力。
【关键词】问题驱动；高中数学；概念教学
        问题是促使数学发展的源动力。数学上许多基本的、核心的概念与原理都是为了解决许多实际问题而产生的，知识背后蕴含着丰富的教学价值及重要的思想方法。因此，数学教学应强调以问题为中心，用问题驱动教学，让学生在解决问题的过程中形成相应的概念与原理。教师在概念教学中应结合学生的实际创设有效的问题情境，让学生在解决问题的探究活动中自然生成概念，并获得相应的数学思想方法。
        传统的教学观念是概念课把概念的内涵与外延将清楚就可以了，其实远远不够。任何重要概念的产生都有其重要的背景，为什么会出现某个概念？为了解决什么问题？如果不弄清楚这些问题，概念也就成了无源之水、无本之木，无从构建一个合理的知识体系，更不利于培养学生的逻辑推理能力。下面以普通高中课程标准实验教科书必修四（人教A版）第三章《1.1.2弧度制》为例，浅析如何在问题驱动下进行概念教学：
       弧度制在教材中起承前启后的作用，巩固和加深学生对函数定义的理解，开展三角函数学习。但弧度作为一个全新的东西出现在学生面前。
       教学过程：
        一、问题引入，创设情境
       【问题1】假设轮子的半径为r，当轮子在地面上正好滚动了一周时，轮子的中心平移了多少？
        这个问题是一个特殊情况，学生很容易想通，轮子的中心即圆心走过的距离恰好是圆的周长2πr。此问题为后面弧度制的引入埋下了伏笔。
        一、新课教学
        【问题2】假设半径为r的圆与X轴相切，当该圆沿着X轴滚动时，圆上任一点绕着圆心旋转了，圆心平移了多少？
问题2比问题1稍复杂点，属于一般情形。如果单纯地问圆心与弧长的关系，学生不会感到困难，难的是将它们与运动联系起来，部分学生可能会感到困难，需要教师利用图形选择圆周上一点，最简单的方法就是选择与X轴相切的切点A，当A点随着圆的运动到达A，时，点绕着圆心旋转了。关键的问题是如何引导学生分析，此时圆周在X轴上滚动的距离（圆心平移的距离）与圆心角的变化时什么关系？当A点绕着圆心旋转了时，圆上任意点均绕着圆心旋转了。有了这个关系就不难搞清楚圆心平移的距离等于圆心角为时所对应的弧长，于是圆心的平移公式为：。
        【问题3】半径为r的圆与X轴相切，随着圆在X轴上滚动，半径不同，相同圆心角对应的弧长也不同，所以圆心平移的距离也会不同。也就是说圆心平移的距离不仅与圆的半径有关，也与圆周上的点绕圆心旋转的角度有关。从弧长计算公式可知，弧长是半径的一次函数，故可以假设弧长为ar，从而圆心平移了ar，其中，这时圆周上一点绕圆心旋转了多少度？
        问题3与问题2正好相反，目的是为后面引入弧度制做好准备。假设圆心角为，由弧长计算公式可知：
        从问题2和问题3可以看出，圆心平移的距离不仅与半径有关，还与圆心角有关，但如果用圆心角的角度计算弧长就会出现系数
        【问题4】在上述等式中表示圆心角的角度，a表示的是什么？这个数与半径有关吗？它由什么唯一确定？
教师可以针对若干个半径不同、圆心角也不同的圆周沿着X轴滚动时圆心平移的距离与圆心角之间的关系，引导学生分析上面的关系式，将会发现所反映的实际上是圆心角的大小。
        【问题5】通过对问题4的分析，我们知道在等式中，a只与圆心角有关，与圆的半径无关，如果知道了圆的半径与圆的弧长，如何计算a？
        有了前面几个问题的讨论，这个问题就迎刃而解了。根据已经学过的弧长计算公式可知，如果圆的半径为r，弧长为L，则圆心角的角度为。而由a可知这说明不管圆的半径是多少，只要圆心角的角度确定了，a也唯一确定。反之，a一旦确定，圆心角的角度也唯一确定，换句话说，a实际上也是圆心角的一种度量。
        【问题6】为什么要讨论反映圆心角大小的a？它与用角度来表示圆心角有什么不同吗？
        假设圆心角的角度为，则对应
        设弧长为L，用圆心角的两种不同度量方法计算一下弧长会发现：

显然用a来度量圆心角的大小，弧长的计算公式要简单很多。而计算弧长与计算圆心平移有着密切关系，它可以为我们后续很多问题的计算带来方便。从几何上也不难理解，不管圆的半径是多少，只要圆心角确定了，对应弧长与半径的比就不会发生变化，所以讨论与圆有关的运动规律时，用a表示圆心角显然比用表示圆心角更便于计算。

           有必要向学生说明：由于弧度是弧长与半径的比值，我们称圆心角为弧度仅仅是个习惯说法，圆心角的弧度是没有单位的。那么圆心角的角度有没有单位呢？角度也是圆心角的一种度量方法，而且圆心角一旦确定了，其角度也不会随着半径的变化而发生变化，所以角度与弧度一样都是个不变量，它同样没有单位。
        【问题7】如果半径为r的圆在X轴上滚动了10圈半，圆上一个固定点绕着圆心旋转了多少弧度？圆心平移了多少？
此问题的意图不言而喻，从以内的角过渡到任意的弧度表示，还可以在此基础上引入反向滚动情形下的弧度。
        【问题8】1弧度的圆心角是多少角度？1^°的圆心角是多少弧度？

        【问题10】试分别用角度制与弧度制阐述一下汽车里程表的工作原理，比较一下两种计算方法的复杂性。
        二、教材例题（略）
        三、课堂总结
        因为需要简化圆弧弧长的计算，建立了角的另一种度量方法，这就是弧度制。它大大简化了弧长的计算公式，为计算带来了便捷性。同时，弧度制的建立使角的度量方法得到了丰富，弧度数与实数之间建立了一一对应关系，同时也使得度量单位统一了起来，这为建立任意角的三角函数概念奠定了重要基础。
        本堂课采用问题驱动的方法，将教学目标分解成一个个小问题，合理创设情境，用问题的形式启发学生，本着“让学生围绕设计的问题，充分经历知识的形成、发展和应用”的教学理念。通过观察归纳自主探究，在展示知识的产生、发展过程中，培养了学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养。