刘希军 杨含 孟瑞
（空军工程大学航空机务士官学校基础部 河南 信阳 464000）
摘 要：按照“案例感受、知识理解、内容掌握、知识应用”的主线开展教学,以新冠肺炎疫情案例为导入，抓住案例所反映的问题，自然过渡到所要讲授的知识点，从而提出要学习的内容；然后在探究案例和数学建模的基础上，学习微分方程的定义、阶和解；最后将概念应用于实际，求解并验证模型的合理性.通过生动具体的案例来调动学生的学习积极性,提高学生学习微分方程基本概念的兴趣.
关键词：微分方程；案例教学；数学建模
案例教学法作为一种启发式的教学方法,是对传统教学法的扩充和革新,其通过案例进行课堂教学,能够充分调动学生学习的主动性,有利于培养学生的创新能力和理论联系实际的能力,同时,也有助于提高教师本身的素质.但是，如何将案例教学法应用于教学实际，是摆在每位教师面前的现实困难.本文以“微分方程的基本概念”为例，选取生活中的热点案例，并与教学内容进行一体化设计.
一、案例导入，引入课题
2020年，新冠肺炎疫情突发，打乱了人们的生活，也给我国人民带来了极大的危害.新冠肺炎是由新型冠状病毒感染导致的肺炎，是一种传染性和危害性很强的病毒性传染病.
观察2020年中国累计确诊病例趋势图，可以看出，累计确珍病例和时间之间存在着某种必然的联系，从数学的角度来讲，他们之间存在确定的函数关系.如果能够找出它们之间的函数关系，就可以为新冠疫情的预测与防控提供科学依据.那么如何寻找函数关系呢？要解决这个问题，就需要学习微分方程的基本概念.
二、案例分析，概念讲授
新冠肺炎是一种传染病，通过研究它的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，可以对新冠疫情进行有效预测和防控.为此，需要对新冠肺炎的传播机理进行定量描述，即利用数学建模的方法解决实际问题，其基本思路就是，首先根据实际背景对问题进行合理假设，根据条件，建立数学模型，然后对模型求解，最后再回到实际进行检验.为此，我们接下来就对该问题进行合理假设.
（一）案例假设
（1）在新冠肺炎流行范围内只有易感者和感染者两类人，且总人数N=10000000人保持不变所谓易感者，就是指健康者，但接触新冠病毒后容易受到感染；感染者，就是确诊者，也就是已经感染新冠肺炎的患者；
（2）易感者和感染者在时刻t占总人数的比例分别为x=x(t),y=y(t)；
（3）在时刻t，每个感染者的接触人数为λ=10，且传染率k=0.1，其中，传染率表示易感者接触新冠病毒后被感染的概率.
（二）建立模型
由于我们没法通过做新冠肺炎传播试验来获取数据，所以需要从分析新冠肺炎传播的变化规律来建立数学模型.
分析：根据新冠肺炎传播的变化率，建立数学模型y＇- y+ y2=0.
通过观察上述等式，我们发现，该等式是一个方程，并且含有未知函数的导数.由此给出微分方程的定义.含有未知函数的导数或者微分的方程就称为微分方程.由定义可以看出，微分方程具有以下两个特征：第一， 它是一个方程；第二， 方程中必须含有未知函数的导数或者微分.
例1 判定等式是否为微分方程（略）.
根据微分方程的定义，等式(1)、 (2) 、(3)都是微分方程，而等式(4)虽然也含有导数，但是它并不是未知函数的导数，所以它不是微分方程.由这些方程我们可以看出：微分方程可以不显含x或者y，但是必须显含未知函数的导数或微分.
由于微分方程的最大区别在于未知函数导数的最高阶数不同.而微分方程中未知函数导数的最高阶数，称之为微分方程的阶.
思考：案例中建立的微分方程的阶数是多少呢？
我们已经建立了新冠肺炎的数学模型，它是一个一阶微分方程.该方程反映的是已知量与未知量之间函数关系的等式，我们的目的是要找出使等式恒成立的未知量y的函数式，也就是要寻找微分方程的解.所谓微分方程的解就是指使方程恒成立的函数.由定义可以看出，要验证一个函数是不是微分方程的解，只需要把函数代入方程，看等式是不是恒成立即可.
例2 验证函数y=1/(Cex-1)是一阶微分方程y＇+ y+ y2=0的解.（解略）
练习：验证函数y=-1是一阶微分方程y＇+ y+ y2=0的解.
因此，微分方程的解在一般情况下有两种形式，一种含有任意常数，一种不含任意常数.在含有任意常数的解中，如果相互独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解.
回扣例题，说明函数y=1/(Cex-1)是一阶微分方程y＇+ y+ y2=0的通解，并将其推广到更一般的情况.
推广：假设y=f(x)是关于x的函数，且满足一阶微分方程y＇+a1 y+a2 y2=0，则其通解为y= a1/(C a1ex- a2)，其中a1, a2为常数.
（三）模型求解
利用推广结论写出案例中微分方程y＇- y+ y2=0的通解为y=1/(Ce-t+1).
回扣练习，给出特解，即通过确定通解中的任意常数而得到的解.由通解和特解的关系介绍微分方程的初始条件.初始条件一般是由题目直接给出或者根据实际问题来确定.
根据新冠肺炎传播机理，该微分方程的初始条件假设为y(0)=1/10000000.然后根据通解和初始条件求出特解y=1/(9999999e-t+1).
（四）模型检验
由特解函数表达式可以看出，该函数是一个单调递增函数，即感染人数随着时间的推移会不断增加，并且到最后所有人都会被感染.将武汉实际累计确诊病例趋势图与模拟趋势图进行对比，发现在疫情爆发之初，两条曲线非常相似，但是到后期，武汉实际累计确诊人数仅为5万多人，这与模型明显不符.为此，我们需要对模型进行优化处理.
（五）模型优化
假设
（1）在新冠肺炎流行范围内有易感者、感染者和新的易感者三类人，且总人数N=10000000人保持不变.
（2）易感者和感染者在时刻t占总人数的比例分别为x=x(t),y=y(t)；
（3）在时刻t，每个感染者的接触人数为λ=10，且传染率k=0.1；
（4）新冠炎患者的痊愈率η=0.9.
分析：类似地，建立数学模型，初始条件仍然为y=y(0).根据推广结论写出其通解，并求出满足初始条件的特解.根据特解的函数表达式知，最终感染人数为1000000，这与武汉疫情实际还是不吻合.据此让学生课下查阅相关资料，对模型做进一步探讨与优化.
截止到5月初，我国新冠肺炎累计确诊病例100000多例，现有确诊500多例，累计死亡5000余例，而美国新冠肺炎累计确诊病例已高达3千多万，现有确诊600多万例，累计死亡60余万例，美国疫情与模拟曲线基本吻合.
我们国家之所以短时间内控制住了疫情，这主要得益于以习近平主席为核心的党中央坚强领导和科学部署.在疫情一开始，习主席就做出重要指示，一声令下，全国上下迅速行动，相关部门配合协作，集中精力抗击新冠肺炎疫情，让世界见识到了中国的速度和奇迹.通过这次抗击疫情，再一次向世界证明了中国社会主义制度的优越性，证明了中国共产党的先进性.
三、案例总结，知识升华
按照“案例感受、知识理解、内容掌握、知识应用”的主线开展教学，以新冠肺炎疫情案例为导入，抓住案例所反映的问题，自然过渡到所要讲授的知识点，从而提出要学习的内容；然后在探究案例和数学建模的基础上，学习微分方程的定义、阶和解；最后将概念应用于实际，求解并验证模型的合理性.通过学习，我们不仅体会到微分方程是解决实际问题的重要工具，而且从中初步体会到了数学建模的思想，概括起来就是：观察分析、抽象概括、演绎推理、解决问题，从而完成了从实践到理论，再从理论回到实践这一循环过程，这一过程从一个侧面揭示了数学本身所蕴含的科学价值，体现了我们认识事物时从现象到本质的辨证思维观.