历娟
北京大学附属小学石景山学校 100144
一、一次教学“刺痛”引发的思考
在以往的教学中，曾经让老师们引以为傲的、学生正确率最高的计算内容，让我们开始思考：那道知识间的“隔断墙”该如何打通？我们留给孩子的到底是一个又一个彼此不相干的“碎片”，还是真正的能力？
这要从六年级组内的一次研究课——“数的运算”复习与整理说起。历经N次试讲，N次修改，为什么总是有那么多孩子被这个小小的“计数单位”所难倒？老师怎么引导就是说不出来？
为了进一步了解学生对于不同数域（整数、小数和分数）的四则运算之间关系的理解，我们进行了有关加、减法的调研，调研题目如下：
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通过调研发现，全班30名学生，有29名学生能准确归纳整数、小数、分数的加、减法计算方法。但同时让我们感到意外的是——有27名学生（90%）找不到它们背后的内在联系，有的只是从形式上认为它们的计算方法不同，没有联系；有的认为整数与小数只是对位方式不同，计算方法基本相同，而分数与前两者完全不同，需要先通分再加减（如图1所示）。
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图1
通过前测，发现绝大多数学生对于整数、小数和分数加、减法的运算意义的理解呈现碎片化、模块化，更不用说主动将乘法和除法构建关联。原因何在？问题到底出现在哪里？这引发了我们的思考。
二、单元教学破解深度学习困境
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置身于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析，从不同的层次进行理解。”在以往的教学中，学生经历的基本都是微观角度的课时学习或小单元学习，很难跳出单个知识点的局限。而“深度学习”所提倡的单元教学设计则是从宏观的角度，打破教材内容的编写顺序，根据学科素养目标对相关联的内容进行重组，从相对完整的知识结构、学科素养目标和综合性练习进行设计。
所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[ 刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养.[M].北京：教育科学出版社, 2018：32.]。在这个过程中，学生掌握学科核心知识，理解学习过程，把握学科本质及思想方法，形成积极的内在的学习动机[ 刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养.[M].北京：教育科学出版社, 2018：72.]。而单元教学则是实现深度学习的有效途径。一般来说，“单元”指的是基于课程标准和教材的编排特点而呈现的教学单元，也就是我们经常说的“小单元”或“知识单元”。而本文中的“单元”打破教材和年段的限制，根据教师教学和学生思维发展的需要，将同一领域相关联的知识点重新整合的跨章节、跨年段的大单元，甚至超大单元。
基于教学中的尴尬与困惑，以及学生数学思维发展的需要，我校数学团队以深度学习理念为指导开展“数的运算”系列单元教学研究，探索出一条深度学习视域下的单元教学实施路径。
三、基于深度学习的单元教学实施路径
作为一线数学教师的我们，该如何进行数学单元的重组与优化？如何进行单元和课时目标的定位呢？接下来，本文将以《表内乘法与除法》为例，阐述基于深度学习的单元教学实施路径。
（一）聚焦核心概念，确定单元主题。
开展单元教学设计，首先需要在数学大观念的统领下，站在宏观视角重新解读教材内容，在系统思考的基础上进行整体设计。
作为“数的运算”单元，其大观念有哪些？张丹教授团队的研究表明，主要包括以下五点：
（1）四则运算分别是具有共同特点的实际情境的抽象；
（2）利用数的意义和联系、运算的意义和联系等可以寻求合理的运算方法；
（3）寻找通法是很重要的，“标准算法”基于对数位和计数单位个数的理解；
（4）四则运算之间存在着联系，运算的道理是一致的；
（5）以上过程中发展了运算能力和推理能力。
基于对大观念的理解，引发了我们的思考：《表内乘法与除法》到底存在着怎样的联系？仅仅是形式上的互为逆运算？还是本质的关联？亦或是四则运算之间本身就存在着紧密的联系？
带着思考，我们分别从宏观（图2）和微观（图3）角度构建了四则运算的图谱。
图2宏观角度 图3微观角度
通过图谱可以发现：从宏观的角度看，“数的运算”研究的对象是计数单位和计数单位的个数，加法和乘法的实质是对相同计数单位不断累加过程，而减法和除法的实质是对相同计数单位的不断细分过程；从微观的角度看，整数的四则运算恰恰是在以“份”为计数单位的基础上，进行的“合”与“分”。此外，基于“每份同样多”，衍生了特殊的加法（即：加数都相同的连加）、乘法、乘加、乘减、特殊的减法（即：减数都相同的连减）、除法和有余数的除法。不难看出，微观角度的除法结构，实际上是在宏观角度的数的运算角度的细化和衍生。当然，对于不同的数域，其解读的方式与内涵有可能会出现一些不同，整数、小数和分数的运算既有区别又有联系。只不过原来更多的可能是我们关注微观，现在我们要站在宏观的角度，打通它们之间的隔断墙，主动建立他们之间的内在的、本质的承重墙。
基于对四则运算宏观角度的分析，以及从整数运算意义的理解，我们将《表内乘法与除法》的核心概念确定为“每份同样多”。这也正是北师版和北京版教材都将表内乘法与表内除法整合在一起进行编排的原因，即为了更好地帮助学生理解乘除法之间的关系。
（二）梳理知识脉络，确定具体观念。
基于对整数乘法与除法的核心概念的理解，进一步确定知识的具体观念。
观念1：基于具有共同特点的实际情境的抽象（每份同样多）；
观念2：利用运算的意义和联系，寻求合理的运算方法（即：乘法的本质是当每份同样多时，求几个几的问题既可以用连加也可以用乘法表示；而除法的本质就是平均分，也就是“每份同样多”。
（三）构建关联，打破、重组
在明确单元具体观念的基础上，我们又进行了《表内乘法与除法》的梳理。在人教版教材的基础上，我们分别将《表内乘法（一）》和《表内乘法(二）》以及《表内除法（一）》和《表内除法（二）》分上、下册进行了重组，变成了两个大的单元（如图4、图5所示）。
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图5 《表内除法》单元结构重构
通过重构单元结构，表内乘法和除法的主线更加明朗，知识点之间的逻辑关系也更加清晰。这不仅能帮助教师站在宏观的视角统领教材，还能够帮助教师准确把握每一节课的课时目标，读懂教材，找准每一节课的“生长点”与“延伸点”。
四、重构单元实现深度学习
经历了一个学期的单元教学研究，我们惊喜的发现学生主动迁移、自主构建联系能力得到了提升，真正实现了深度学习。下面分享刘婕老师的《利用2-6乘法口诀求商》中的一个片段。
【片段】利用乘法口诀求商——多种表征呈现生长的思维路径
环节任务：自主探究，探索求商方法
1.明确要求，自主探究
任务：12除以3商几呢？你是怎么想到这个除法算式的商的？请把你的方法写在白板上。
2.交流展示，沟通联系
明确评价标准：五星好评，我们以以下三方面为标准为同学的发言做出评价：
①声音洪亮，表达清楚
②能够正确找到除法算式的商
③方法是否简单、方便
预设1：画图
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提问：他的方法能正确找到商吗？
学生：和减法差不多，先拿3个桃分给一只小猴，再拿3个桃分给一只小猴，一共有4个3才是12个，所以12÷3=4
预设4：乘法算式3×4=12
提问：大部分同学都想到了乘法！谁来说说你的想法？
学生①：每只猴子分3个桃，几个3是12呢？我想到了3×4=12，所以12÷3=4。
追问：你是怎样想到乘法的？
学生②：乘法和除法是相反的，所以我想到了用乘法3×4=12计算除法。乘法和除法有关系，我就想到了用乘法算除法。
追问：你发现乘法和除法之间有关系，能说说它们之间有什么关系吗？
3.讨论：谁能再结合图片说一说，乘法和除法之间到底有什么关系？
学生①：12表示一共有12个桃子，3表示每只小猴子分3个，4是指一共分给了4只小猴，也就是12里有4个3，所以3×4=12，12÷4=3。
评价：哦，算式中的3、4、12表示的含义都相同，还有谁愿意说说自己的想法？
学生②：乘法算式中的12成了除法里的被除数，3成了除数，4成了商。
评价：他观察到3、4、12的位置发生了变化，但是含义相同。
学生③：乘法算式表示的是每3个桃子为一份，有这样的4份，3×4=12算的是一共有多少个桃子，而除法算式是把这12个桃子，每3个为一份，可以分给4只猴子。它们都是平均分，只是乘法算的是4个3一共是多少，而除法算是12里有几个3.
小结：乘法和除法之间的确存在着这样紧密的联系，所以我们就可以借助乘法来解决除法算式的商！
在以往的教学中，学生更多的是通过画图分一分或者直接想乘法的方法解决问题，很难想到除法还会与加法或者减法产生联系。不仅如此，我们还惊喜地发现，学生通过多种表征解决问题的过程中，产生了许多有关数学知识本质的思考，例如“乘法与除法好像是相反”的，“乘法与除法中的某些数字没变，只是位置变了”，“乘法和除法都能表示平均分，因为每份同样多”等。数学课堂上产生了太多的惊喜，而这就是单元重构的力量，
正如华东师范大学钟启泉教授所说，“单元设计的作用——撬动课堂转型的一个支点”。只有我们深入研读教材，全面了解学生，准确把握数学本质，才能更好地把握单元之“神”，重构单元之“形”。总之，单元教学设计符合整体学习的理念，有助于实现深度学习。
【基金项目：“北京市中小学名师发展工程”项目论文】