叶巧敏
浙江省温岭市城南镇中心小学
【摘 要】数学解决问题教学时，引导学生将画图应用到解决问题中，借助图示分析、思考问题，培养学生的数学思维能力。本文从三个方面对此展开论述：从条件出发，利用图示将隐藏的数量关系显性化，发展学生的顺向思维；从问题出发，采用图示抓住问题本质，发展学生的逆向思维；多角度出发，应用图示拓宽方法思路，提高学生解决问题的综合能力。
【关键词】图示 解决问题 能力 数学思维
人教版数学教材中的“解决问题”没有了传统的系统归类教学，淡化了原应用题的类型和解题模式，并分散于数学四大领域的各知识点中，注重解决问题策略的多样化，强化了对实际与数学意义的理解，同时强调从学生已有的生活经验出发，注重知识与应用的结合。但在实际教学中，由于缺乏方法策略的有效提炼和引导，学生解题能力受到影响，学生的思维能力不升反降。笔者认为，画示意图是一种非常有效的解决问题方法，因此在解决问题中，可以借用“图示”分析问题，以“数”“形”结合的形式来提高学生的解题能力，发展学生的数学思维。
一、巧用图示理清数量关系，发展顺向思维
在具体的解决问题中，引导学生利用符号图示将隐藏的数量关系显性化，从条件出发，理清数量之间的关系，促进学生顺向思维的发展。
1. 利用图示寻找中间问题
线段图是解决问题的一种思维工具，从条件入手，便于学生明晰数量之间的关系，找出中间问题。例如两步计算解决问题：“学校买来彩色粉笔46盒，买的白粉笔比彩色粉笔多19盒。一共买了多少盒粉笔？”要求学生根据信息和问题画出线段图，在线段的对比中找到“彩色粉笔46盒”和“多19盒”之间的关系。这隐含的问题“白粉笔有多少盒”就能比较容易被学生理解和接受。为了防止学生的思维浅层化，防止学生形成“看多就加，看少就减”的思维定势，可以改变信息：“学校买来白粉笔65盒，比彩色粉笔多19盒。”，借助线段图进行对比练习。从条件出发展开思考，借助图示直观发现关键问题，使学生感受到解决问题的快乐，分析与归纳的能力也得到发展。
2. 利用图示剖析数量关系
根据题中的信息和问题，有些图无法直接画出，则需要根据数量的变化情况作出调整或修改，使之能帮助打开思维，剖析数量关系。例如分数除法的解决问题：“用汽车将一批物资运往灾区，第一次运走总数的3/8，第二次运走余下的1/6，这时还剩下25吨。这批物资一共有多少吨？”。这一题中出现了两个不同单位“1”的分率，一般学生分析理解会有一定难度。因此，引导学生从条件出发画线段图。“第一次运走总数的3/8”中是以“这批物资”为单位“1”，即所求的问题，这容易在线段图上表示出来。而“第二次运走余下的1/6”的单位“1”发生了变化，无法在同一条线段上清楚地表示。这时线段图就要进行调整，在原来的基础上再增加一部分，（如上图）目的是能更清晰地描述数量关系。随着线段图的完整，关键的问题就浮现了出来，解题思路也逐渐明晰。
二、善用图示找对问题本质，发展逆向思维
有一些解决问题，需要从问题出发，找寻所需要的信息，用图示提炼出信息和问题，把握解决问题的本质，形成清晰的思维脉络，从而发展学生的逆向思维。
1. 借图理清关系
在解决问题中要引导学生把认真读题、仔细推敲的过程用图表示出来，利用图示理清问题与已知信息之间的关系，强化审题意识。例如有多余条件的解决问题：“两个小组有13人去爬山，他们已经走了15分钟了，其中女生有6人，男生有几人？”教学中，先让学生找出已知信息和未知问题读一读，从问题出发提问：我们要求男生有几人，你能找到相关的信息吗？划出有用信息，并说清为什么 “走了15分钟”是一个多余的条件，让学生明白这个多余条件与问题是毫无关系的。在找出信息和问题的基础上，让学生画圆圈图进行表述。为防止学生混淆各个数量之间的关系，还要在圆圈图中进行圈画，这样可以明显看出“男生有几人”。
2. 借图直观推理
在解答过程中，从问题出发借助图示的直观进行推理，使学生的逆向思维能力得到发展。例如：“五年级有学生120人，六年级学生是五年级的4/5，五、六年级一共有学生多少人？”这一题可以从问题开始思考，要求总共的人数必须要知道“五年级的人数”和“六年级的人数”，只有知道了这两个信息即可解答：五年级人数+六年级人数=总人数。这时可以利用线段图帮助分析、理解。五年级的人数是已知的，而六年级的人数是未知的，从图上可以看出两个已知信息之间的关系。通过直观形象的图示能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，容易找到解决问题的关键。
三、利用图示拓宽方法思路，提高综合能力
在数学解决问题中，综合应用图示，将“数”与“形”结合，从不同方向思考解决问题的方法和思路，拓展学生的思维，提高解决问题的综合能力。
1. 多角度拓宽解题思路
解决问题要选择适宜的图示进行分析解决，引导学生从不同角度去思考问题，不同的思路可以求出同样的结果，从而培养学生思维的广阔性。例如长方形面积的问题：“原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？”。教学时，引导学生根据信息和问题画出长方形图。（如右图）结合平面图，从条件出发分析，在图中明确“鱼池的宽减少5米”，实际上减少的是一个“宽是5米、面积是150平方米”的长方形，利用这两个信息可以求出现在鱼池的长是（150÷5）米，鱼池的宽则是（20－5）米。据上分析不难发现，其中隐藏着的长和宽求出来后可以解答新长方形的面积。从问题出发分析，要求“现在鱼池的面积”即求“长方形的面积”，必须要知道长与宽的长度，所求的新长方形的宽是已知的，而长是未知的，这恰是这道题最关键的问题。要求长就要用到“宽5米”和“面积150平方米”两个信息。
2. 多层次提炼解题方法
解决实际问题中，不仅要多角度思考，而且要多层次提炼解题方法，有利于培养学生的思维深度。例如计算不规则物体的体积：“一个底面内直径为8cm的圆柱形水杯，装上水后水面高6cm，把一个小球沉没在水里，这时水面高8cm。求小球的体积。”引导学生画出圆柱的立体图（如右图），在图上标出原来水的高度和现在水的高度。通过观察三维图，让学生明确“水面高6cm”到“水面高8cm”，是因为小球的原因水面升高了2cm，这是第一层次的理解。第二层次，要让学生通过观察明白小球的体积与升高这一部分水的关系。第三层次，要引导学生从小球的体积计算方法来提炼、归纳出不规则物体体积的计算方法。在数学教学中要有意识地引导学生养成画图解决问题的习惯，充分利用“形”的优势来促进“思”的提高，培养综合运用图示解答问题的能力，拓展思维的深度与广度。
综上，将“形”与“思”的巧妙结合，以形促思，以形助思。不但培养了学生的思维能力，而且也提高了学生的解题能力。“学以思为贵”，学生思维的培养并不是一朝一夕的，需要教师长期的坚持和努力，通过各种途径和方法加以实施，让学生真正地体会到思维的快乐，体会到学习数学的乐趣。