范琦
溧阳埭头中学 常州 江苏 213311
摘要: 解析几何是高中数学的重要内容，在教学过程中要注意对解析几何最值问题进行方法策略研究，思想优化过程，一些解析几何最值问题提供常见的典型题目，总结归纳其教学策略，为高中学生解决解析几何最值问题提供一些方法。
关键词 解析几何 最值问题 数形结合
一、问题背景
解析几何是近几年江苏高考解答题必考题之一，而作为解答题一方面考察学生的思想方法，另一方面考察学生的计算能力，作为主观题考察变量范围及最值问题是考察的一个重点，也是近几年的常考题型。变量范围包括不等关系和函数思想，最值问题包括最大值和最小值，目前，高一学生能处理的方法， 两大方向即代数和几何，这也是很多解题的方向
一、代数法，代数法就是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数的最值问题，然后通过对该函数的单调性和最值得考察使问题得以解决
二、平面几何法 有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平和最值联想到距离公式等等） 平面中两点间的线段最短 两边是和大于第三边直角三角形中斜边大于直角边，能恰当地利用其几何意义则可数形结合，或者将图形局部进行转化是最值问题得以解决
二、教学设计
教学目标
能把所求的目标表示出来后，能从几何和代数两个角度出发来求解
教学的重点、难点
学生的转化能力，方法的灵活运用
学情分析
学生已学习了三角函数、直线、圆的方程等基本知识，三角函数等高一上学期的学习内容，学生可能遗忘，必要时作复习或引导
授课班级的学生数学基础一般
教学内容分析
这类问题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题成为历年各省市数学高考中的热点和难点。考生在解答该类问题时，常常表现为无从下手，或者半途而废。解决这类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维。宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路的整体设计上狠下功夫即可顺利过关。这类问题的解决方法虽没有固定的模式,但也有规律可寻，下面通过一些例题的分析归纳,总结解析几何中最值问题的一些求法。
教学环节与活动
引题 已知,则的最小值为 .
先让学生思考2分钟，想想解题的思路
师: 你能从什么角度来解决这个问题
生1;可以从几何角度，这个方程对应是直线，直线上的点到定点（1,1）的距离
师：那直线上什么位置的点到定点的距离最小？
生2：当过定点的直线与已知直线垂直时，垂足就是我要找的点，
师;请问，你能解释一下原理吗？为什么这个点就是距离最小的点？
生2：当取作直线上其他的点，构成的都是斜边，大于直角边
师：很好，用几何性质完美地解释这个原因
师：那还能从什么角度思考？
生3;从函数的角度，我把通过变形成一次函数y=-x-1，然后利用消元思想，把y消掉，这样就变成根号里关于x的一元二次函数（要注意x的取值范围）
学生总结：解决解析几何最值问题的可以用数形结合的思想方法：（1）“数“---代数法，代数法就是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数
（2）”形”---平面几何法 有些最值问题具有相应的几何意义.比如距离，斜率等等
变式 已知x、y满足,
(1)求 的最大值和最小值;
(2)若,求b的最大值和最小值.
师：请问（1）你从哪个方向来求解？
众生：几何
师：为什么会想到用几何方向？
生1：观察结构，我想到两点间斜率
师：很好，那可以从代数方向求解不？
生1：好像很复杂，因为转化成函数时，消元时，要开根号出来，而且有正负两解
解析 如图所示，(1) 的值,可以看作半圆上的动点P(x,y)
与定点M(-3,-3)的连线的斜率k的值,故等价于直线
与半圆有交点时斜率k的最值问题,结合图形知.
因为A(3,2),所以，为与半圆相切的直线的斜率,从而有
,得或(舍).
故而.所以的最大值和最小值分别为
(2) b的几何意义为直线的纵截距,相当于直线与半圆有交点时，求纵截距的最值,结合图形知直线过E(1,2)时,b最小为4;当过点F时,直线和半圆相切时,b有最大值,由 ,得(舍小值).从而:. 所以b的最大值和最小值
分别为.
已知圆C过点P（1,1）且与圆M,关于直线对称。
（1）求圆C的方程
设Q为圆C上的一个动点，
解：（1）（过程略）
（2）设Q（）， =）
=
师：大部分学生都到了这步，让学生思考出现这个结果后如何理解？
生1：我想到还可以再化解到，所以我想从几何角度中的截距来理解
生2：我也从代数角度中转化成函数来理解
师：那同学们来思考这个问题，如何转化成函数？
生3:观察圆方程的结构是平方和的形式，所以我想到了三角换元，这样就可以转化成关于三角的一个函数，从来解决了最值问题
师:还能从什么角度来来思考？
生4:我还是从几何的角度来思考的，我通过配方变成这样我就可以理解成圆C上的动点到定点
归纳小结
求解析几何最值问题的基本视角是数形结合的思想和函数的思想。
通过数形结合的思想并结合平面几何知识直观地“看”出最值得条件
通过函数的思想建立目标函数，进而求目标函数的最值
解析几何最值问题的基本解法：数形结合的思想，
一、函数法
当涉及的函数不是一元函数时，可考虑减“元”，利用不等式（二元函数）
在利用二次函数求最值时要注意自变量的取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。利用圆、椭圆的标准方程的结构特点，进行三角代换借助于三角函数的有界性，求出与它们有关的最值。利用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是解题的关键。要注意代换的等价性
二、平面几何法 有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平和最值联想到距离公式等等） 平面中两点间的线段最短 两边是和大于第三边直角三角形中斜边大于直角边，能恰当地利用其几何意义则可数形结合，或者将图形局部进行转化是最值问题得以解决
参考文献：
【1】姚振飞，高中解析几何中的最值问题及其教学策略研究，考试周刊[J] 2013年第85期。
【2】吴超，基于解析几何最值问题的解法研究[J]教学设计。