秦自强
合肥八中 安徽省 合肥市 230071
一、问题提出
在高三引力知识复习过程中，学生问这样一道题：
如图所示，绕同一恒星运行的两颗行星A和B，A的轨迹是半径为r的圆轨道，B的轨迹是长轴为2r椭圆轨道，其中远日点y到恒星中心的距离为近日点x到恒星中心的距离的2倍，两轨道相交于P点。以下说法正确的是( ? )
A.?A和B各自经过P点时加速度相同
B.?A和B各自经过P点时的速度相同
C.?A和B绕恒星运动的周期相同
D.?A的加速度大小与B在y处加速度大小之比为16:9
此题本身并不难解答，A和D项根据牛顿第二定律和引力公式判断，C项根据开普勒第三定律判，B项根据矢量的概念判断，由此答案是ACD。学生问的是B项，笔者的解释是两者速度方向不同。学生明白了，他接着问到，那二者速率关系呢？这一问题，引起了笔者的思考。该如何比较两颗行星在交点处的速率关系呢？一番琢磨之后，笔者想到了一种方法。我们知道A和B在各自的轨道上机械能均是守恒的，可以利用这一点来考虑。
二、问题解决
我们知道，无论是列动力学方程还是能量方程，环绕天体的质量均会被约掉，也就是速度的求解和环绕天体的质量是没有关系的。为了方便说明，我们假设A、B质量相等，但这并不影响速率的比较。设?A和B质量均为m，恒星质量M。
1、先研究一下圆轨道的机械能。动能可以由圆周的动力学方程求解，引力势能直接给出
，于是可以求得：
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2、椭圆轨道机械能
椭圆轨道上，引力势能可以直接写出，关键是动能。如何求解呢？行星做椭圆运动时，因为只有引力做功，机械能应保持不变。于是，利用这一特点，可以写出椭圆轨道上机械能守恒的方程：
同时由开普勒第二定律，可得：，其中，vx和vy分别表示x和y处的速度。
两个方程，两个未知数，联立可以求出vx和vy，从而求得y处动能为，再加上y处的势能，进而可以求得椭圆轨道总机械能，结果是 。
由此可知，椭圆和圆轨道的机械能相同。当交于P时，势能相同，所以动能也相同，由此可知在P处速率相同。
3、延伸
原题中远日点到恒星距离是近日点两倍。如果是一般的情况呢？还有没有这样的结论呢？下面我们讨论一般的情况。
如图，假设xy=2r，xO=kr，则yO=(2-k)r。
椭圆轨道上机械能守恒：
开普勒第二定律：
同理可以求得vx和vy，进而求出总的机械能，结果仍然是 。由此可以推断，即使是一般的情况，只要椭圆半长轴等于圆半径，圆轨道和椭圆轨道的机械能就相等，交点速率就相等。
开普勒第三定律告诉我们椭圆轨道的周期取决于半长轴，从上面的分析中可以看出半长轴还决定了椭圆的总能量。
三、教学思考
学生的问题原是一道老题，解决并不复杂，笔者原先也没有考虑过圆轨道和椭圆轨道交点处的速率关系问题。学生的问题引发了笔者的进一步的思考。我想，这就是教学相长。在今后的教学中，应该更多地和和学生交流，进而能够发现新问题，在解决问题的过程不断提高。