汪海莲
梅林初级中学
【摘要】“数学是思维的体操，科学的皇后”，培养学生的发散思维能力是数学新课标的要求，逻辑推理是初中数学核心素养之一，用多种方法解答同一道数学题不仅能让学生更牢固地掌握和运用所学知识，而且通过不同的解法的分析比较，才能找到不同解法的侧重点，从而找到解题的最佳途径，培养学生的逻辑思维能力。
【关键词】一题多解 发散思维 逻辑推理
近几年来，中考数学命题中，出现的题型新颖，思路灵活，方法多样。说明数学教学重要的不是获得知识，而是发展学生的思维能力。核心素养强调的不是知识和技能，而是获取知识的能力。教学中，教师应关注学生的最近发展区，提高学生的核心素养，培养学生的逻辑推理能力，从学生的认识角度去换位思考，数学问题的解答方法往往是不唯一的，教师需要挖掘问题的本质，要针对问题进行一题多解、一题多变及知识的迁移，引导学生从纷繁复杂的表象中领悟出解题的本质，捕捉教学相长的契机，优化解题方法，提高解题能力。教师教学的任务是“授人以渔”而不是“授人以鱼”。只要学生掌握正确的学习方法，就能从困惑中解脱出来。
数学以其缜密的逻辑向人们展示着它的美，英国著名思想家培根说过：数学是思维的体操，而多元化的思维训练，可以通过“一题多解”得到实现。“一题多解”是指通过不同的思维途经，采用多种解题方法解决同一个实际问题的数学方法。对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，多角度深入地思考，可以得到不同的解法。而采用一题多解的形式进行教学，能唤起学生学习数学的兴趣，在揭示知识的过程中，启发学生主动分析、思考问题、有助于学生大胆尝试，从而训练思维的广阔性、灵活性、深刻性。同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。下面谈谈学生对2016年考纲的一道填空压轴题的九种解答。
2016年考纲练习二第18题
题目：如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC,BD的交点。点E是CD的中点，连结BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连结OF，则OF的长为__________。
注①：由题意易得，∠OBF=∠OCF，CE=2，用勾股定理可求得BE=，sin∠ECB=，可得CF=,BF=，EF=。
注②：∵∠BFC=∠BOC=90° ∴B、O、F、C四点共圆 ∴∠CBE=∠COF
(注①注②结论在解题过程中不再重复证明)
解法一：（利用相似三角形求解）
分析：由△OBF∽△EBD或△OFC∽△DEB求解。
解题过程：①∵∠OBF=∠EBD，
∴△OBF∽△EBD ∴OF=
②∵∠DBE=∠OCF，
∴△OFC∽△DEB ∴OF=
【点评】解法一过程非常简单，但是利用“两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”这个判定证明两个三角形相似的思路很难形成，学生利用这种方法解得结果的几乎没有。
解法二：（旋转变换方法求解）
分析：容易得到△OBG≌△OCF，从而得到△OGF为等腰直角三角形，可通过求出斜边GF长，求得直角边OF的长。
解题过程：在BE上截取BG=CF，连结OG
∵∠OBF=∠OCF，OB=OC，BG=CF
∴△OBG≌△OCF ∴OG=OF，∠GOB=∠FOC
∴∠GOF=∠BOC=90°即△OGF为等腰直角三角形
∵BE=，BG=CF=，EF=
∴GF= ∴OF=
【点评】解法二利用旋转变换方法求解过程相对较为简单，但是利用旋转变换模型添辅助线的思路较难形成。
解法三：（作高线构造直角三角形求解）
分析:由△BOE的面积等于△BCE面积的一半，可得OG=CF，再求得GF的长，即可利用勾股定理求OF的长度。
解题过程：过点O作OG⊥BE于点G，连结OE
∵点E为CD的中点，点O为BD的中点
∴ ∴OG=CF=
∴BG= ∴GF=
∴OF=
【点评】解法三作高线构造直角三角形求解，要求线段的长度，构造直角三角形，利用勾股定理计算，辅助线OG的添法容易想到，但是利用面积法求OG的长度是这种解法的难点所在。
解法四：（作倍长中线构造全等三角形求解）
分析：容易得到△DBE≌△CGE，再由△OFC∽△BCG求解。
解题过程：延长BE使EG=BE，连结CG
∵DE=CE，EG=BE，∠GEC=∠BED
∴△DBE≌△CGE ∴BG=2BE=
∴∠G=∠DBE=∠OCF
∵∠GBC=∠OFC ∴△OFC∽△BCG
∴OF=
【点评】解法四作倍长中线构造全等三角形求解，本题出现中点，可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是希望通过构造全等三角形来转移线段或者角，再利用相似三角形求解。
解法五：（利用中点构造全等三角形求解）
辅助线：延长AD，BE交于点G
分析：解法五的思路本质还是利用倍长中线构造全等三角形，其思路与过程都与解法四类似。
解法六：（作高线构造相似三角形求解）
分析：容易得到△BGE∽△CFM，从而求得FM与MC的长，得到△OFM∽△BCM的相似比，可求得OF的长。
解题过程：过点E作EG⊥BD于点G
∵EG⊥BD，CF⊥BE ∴∠EGB=∠CFB=90°
∵∠GBE=∠FCM ∴△BGE∽△CFM
∵BG=，CF= ∴FM=，MC= ∴
∴OF=
【点评】解法六的思路为先由B、O、F、C四点共圆想到了△OFM∽△BCM，然后通过作高线构成相似三角形求相似比，但是不论思路及过程都相对较难。
【反思】“一题多解”有利于调动学生的学习积极性，在教师的启发、引导下，对一道题学生可能提出两种、三种甚至更多种解法，课堂成为同学们合作、争辩、探究、交流的场所，它能极大提高学生的学习兴趣。有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点。有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法。有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。
学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
【参考文献】
[1] 刘刚.提高中考一题多解,多题一解,一题多变有效性的探索[J].数理化学习(初中版). 2014(05)
[2] 宗明录,朱鸿.一题多解,培养学生的数学思维能力[J].新课程学习(中).2015(01)
[3] 周建玲,陈立.一题多解与数学发散思维的培养[J]. 中学数学. 2016(22)