商伟
黑龙江省牡丹江市第一高级中学 157000
摘 要：本文通过对质点——弹簧系统模型的研究得出简谐运动方程，然后通过常微分方程教材中的理论知识解出方程的解，计算出简谐运动方程的解的形式就是我们熟悉的三角函数形式，从而有力地验证了高中数学新教材人教A版（2019）必修第一册第五章第七节的部分内容，解决了教师和学生对简谐运动方程求解过程的困惑。
关键词：简谐运动方程；二阶线性常微分方程；解
高中数学新课程改革，旨在克服应试教育弊端，激发学生学习兴趣，培养创新性人才，让学生能够对所学知识有更深刻的理解，从而达到学以致用的效果。因此，在高中数学新教材人教A版（2019）必修第一册第五章第七节中，专门设置了“三角函数的应用”这一学习内容，目的旨在加强用三角函数模型刻画周期变化现象，这部分内容在素材的选择上考虑了真实性和广泛性，力在培养学生综合运用数学和其他学科知识解决问题的能力，其中教材242——243页通过介绍弹簧振子的振动引出物理学中的“简谐运动”概念，并且说在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用我们数学熟悉的函数，其中表示，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都和这个解析式中的常数有关，这些内容在以往的数学教学中关注度并不高，而教材解决这个问题的方法是通过对数据表、散点图的观察得出简谐运动解的形式，这其实对于大部分学生来说是较容易理解的，但仍会有部分学生和很多教师存在这方面的困惑：教材中简谐运动方程的解通过解析方法求解的话，又该如何求解呢？我们能不能通过专业的数学知识解决出来呢？
那么下述内容很好的解决了学生和教师对这方面的困惑，我们通过对具有物理背景的“质点——弹簧系统模型”的研究得出简谐运动方程，然后应用大学中我们学习的常微分方程相关理论知识求解这个方程，计算出简谐运动方程的解，从而解决我们对高中数学教材中这部分内容的困惑。
首先我们了解一下简谐运动的定义：物体在某一中心位置附近循环往复的运动，称为“简谐运动”。
然后研究简谐运动的一个典型实例（质点——弹簧系统模型）
我们考虑一个连接在弹簧上的质点，在无摩擦的光滑桌面上滑动，在时刻，仅有两个关键数量，一是质点从弹簧静止位置到现位置的位移，二是弹簧对质点施加的弹性力。假设时刻质点的位移为，当质点在弹簧的静止位置时，记为，而当质点在弹簧伸长的位置时，；在压缩位置时，；（见上图）
因为为时刻质点的位移，所以在时刻质点的瞬时加速度为，如果以记为质点的质量，由牛顿第二定律有
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方程（1.1）又称为简谐运动方程。（注：该方程在大学常微分方程教材中称为二阶线性齐次自治常微分方程）
那么通过对这样一个具有物理背景的实际例子的研究，我们得出了简谐运动方程，但是方程解的形式又如何呢？
求解方法：
1.我们首先研究一阶线性常微分方程的解
通过观察我们可以发现一个函数经过一阶求导后的结果和其函数本身形式类似，那么我们想到了指数函数，这时我们设，其中，为非零常数，那么代入到中，得，故，所以，而这个非零常数的值需要依据方程的初始条件确定。
接下来我们研究二阶常微分方程的解，我们对进行降阶得到对应的一阶二维线性常微分方程组，设，则，类比一阶线性常微分方程解的形式，可以看出的形式和一阶微分方程解的形式相同，那么在这里我们设，其中，为非零常数，代入到中（注：适用于求解，适用于对解进行定性分析，所以本文选择前者）得，即，，所以，而由欧拉公式得
其实在大学常微分方程教材中我们了解到有这样一个定理：
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如果线性无关，那么（为非零常数）就是方程的通解（这里证明线性无关的过程省略），而这里由于是复值函数，它所对应的实部和虚部是线性无关的，所以复值函数我们规定它的通解是它实部和虚部的线性组合，那么我们可以得出
记
而这里的值由初始条件决定（代入求解即可）那么我们就解出简谐运动方程的解了，也就得出我们教材中的内容。
本文最后为了方便读者阅读理解进行简单的总结：通过对一个具有物理背景的质点——弹簧系统模型的研究得出简谐运动方程，然后通过大学的知识解出方程的解，计算出简谐运动方程的解的形式就是我们熟悉的三角函数形式，这就有力地验证了新教材中对于这一部分内容的设计，这样的知识储备，我觉得会让我们教师在讲授这一节内容前理解的更透彻，并且在这一过程的同时，体现出数学在其他学科中的应用价值，能够进一步提高了我们教师对于专业知识的理解和掌握能力。
参考文献：
[1]王玉文，史峻平，侍述军，刘萍. 常微分方程简明教程[M]. 北京：科学出版社.