同构法在高中数学解题中的应用

发表时间:2021/7/7   来源:《教育学文摘》2021年10期   作者:丁向东
[导读] 同构是近些年高考模拟题的热点题型,经常出现在压轴选择填空和导数大题中,特别是恒成立求参数取值范围,或证明不等式,常规方法可能需要采用隐零点,往往较为繁琐,而用同构,则会达到四两拨千斤的功效。
        丁向东
        四川省巴中市平昌县响滩中学    636441
        同构是近些年高考模拟题的热点题型,经常出现在压轴选择填空和导数大题中,特别是恒成立求参数取值范围,或证明不等式,常规方法可能需要采用隐零点,往往较为繁琐,而用同构,则会达到四两拨千斤的功效。利用同构后的模型性质进行解题,是一种非常重要的方法.本文谈谈同构法在数学中的应用.
        那么何为同构?顾名思义,同构,函数结构相同时使用,或者通过变形使不等式两边的函数结构相同。
        我们通常把同构分为三重境界。
        同构第一重境界:双变量问题,x1,x2地位完全等价,只需把同一个变量移到不等式同一边即可。常见形式有:

    同构第二重境界:指对跨阶时使用,何谓指对跨阶?简单做一个介绍,x、ex、lnx中,指数增长最快属于第一阶,x其次,属于第二阶,lnx增长最慢,属于第三阶。如果题目中既出现ex,又出现lnx,我们暂且之为指对跨阶。
        指对跨阶常见模型及处理方法:

    同构第三重境界:有些同构式不是很明显的指对跨界,需要配凑常数或者自变量x,此类题型较为含蓄,需要多加练习。
        常见形式有:
        
        以上是同构的三重境界,很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活,要想用好同构,还要掌握两种方法,指对变换与放缩。
        常见的指对变换有x=elnx,x=lnex基于此,有如下一些变形,大家可以参考:
       
        例:设实数λ>0,若对任意的x∈(0,+∞),不等式λeλx-lnx≥0恒成立,则λ的取值范围是______.
        
        同构化解题意识与技巧是一种常见的解题思路,在解题过程中,如果能看 清问题中 式子结构的共性,并合理构造共性,则可大大简化问题,从而轻松解决问题.
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