吴萍萍
莆田擢英中学
【摘要】福建新高考改革下，立体几何的外接球问题主要出现在选择题的八九题，是大部分学生感觉比较花时间的一个类型，也一直是学生的一大难点。尤其以三棱锥为高考题载体的外接球问题最让学生觉得无从下手。在近几轮的立体几何外接球的教学中发现：通过归纳几类常见的三棱锥外接球问题，系统的整理出解决此类型的常见解法，可以帮助学生通过构建相应的外接球模型，巧妙的解决相应的高考题。
【关键词】高考改革；外接球；三棱锥
新高考改革下，近几年的高中三年一轮的教学下来后，对于立体几何的各个考点模块有了专题研究。通过大量的材料整理、归类发现立体几何的主要考点在于几何体的外接球问题。而此类考点中最让学生摸不着头绪的在于三棱锥的外接球。究其原因在于三棱锥的外接球的球心不好直观寻找，空间图形不好直观想象，关于此外接球半径的等量关系式不能抽象出来。因此，在实际教学中，经常对本部分内容进行专题化教学，系统整理本部分题型，帮助学生构建关于此类问题的求解模型。通过模型化专题教学，不仅帮助学生建立此部分的空间抽象思维能力，也大大提高了此部分问题的求解速度和准确率。
一、创造性思维：可以补成棱柱外接球模型的三棱锥
例1：棱长为的正四面体的四个顶点都在同一球面上，求该球的体积。
解题思路：正四面体的外接球问题可以转化为正方体的外接球问题。本质在于：只要摘取正方体中六条面对角线并保证构成三棱锥，此三棱锥的所有棱长均相等，即此三棱锥为正四面体。且正四面体的外接球与正方体的外接球重合，只需计算出正方体的棱长即可得到外接球半径。又可知正四面体棱长为正方体的面对角线，此问题不攻自破。
例2：三棱锥中， ， ，求三棱锥的外接球的表面积．
解题思路：此问题的三棱锥的六条棱长十分具有特色，应该引起我们的关注。相对棱长相等的三棱锥正好可以补形成为一个长方体，本质上和例1的原理是同一个。此问题的求解较例1更有技巧性。长方体的三条棱长a,b,c可以表示成三棱锥的三条面对角线的关系式，可以找到三个关于a,b,c的等量关系，最终借助长方体外接球模型即可求解外接球半径，得到表面积。
立体几何的外接球中，正方体和长方体的外接球是最为简单的一类。关于此类外接球，我们通过空间图形的空间想象，可以直接找到它们外接球的直径就是正方体、长方体的体对角线。既然此类外接球有如此便捷的结论，那么，可以补成此类型的三棱锥的外接球问题是否就可以快速的通过转化化归思想处理成正方体、长方体的外接球模型。因此，对于以下的两个特殊的三棱锥，就可以通过棱长之间的相互转化，创造性的将三棱锥问题进行巧妙处理。
例3：三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上， BC⊥CD,AC⊥平面，且，BC=CD=2,求球O的表面积。
解题思路：三棱锥的侧棱垂直底面，通过将此三棱锥的垂直底面的侧棱来作为新的三棱柱的侧棱的模型进行补形。可以发现两个几何体的外接球是同一个，继而通过柱体的外接球的球心在高线的中点的方法进行勾股求解。
三棱柱的外接球的求解在于找到其球心，借助球和三棱柱的对称关系建立关于半径的勾股式子。此原理归根到底与正方体、长方体的外接球问题是同一个性质：找到几何体中直径所在的位置。通过此模型的构建，可以快速帮学生理清几何体的球心和半径的关系，直接通过所给数据进行快速求解。
二、逻辑性思维：正三棱锥的外接球的球心的构建
例4：已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离。
解题思路：正三棱锥这一特殊的几何图形，决定了它的外接球球心只能落在高线上。此为此类问题需要学生突破的一个难点。此结论的由来正是由于球的对称性和正三棱锥的对称性。寻找到正三棱锥的球心后，构建关于外接球半径R，底面外接圆半径r,高h的一个等量关系式。即：R,r，h-r满足勾股数来求解R。
正三棱锥的外接球问题没办法直接转化为柱体的外接球模型，因此，在寻找球心和半径时只能回归到原始概念，抓住外接球和正三棱锥的本质特征，确定球心的位置，通过几何图形的构造求解外接球半径。通过数学抽象、逻辑思维巧妙的处理此类型问题，引导学生开拓思维，提升数学素养。
三、发散性思维： 侧面垂直底面的三棱锥的外接球问题
例5：在体积为的三棱锥S-ABC中，AB=BC=2,SA=SC,，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，求该球的体积。
解题思路：借助球心与球的截面的圆心连线与截面垂直这个几何关系，在寻找此类较为复杂的三棱锥外接球问题时，只需要找到两个截面的外接圆圆心的垂线的交点，即可发现此交点即为球心，继续构建半径的勾股关系求解即可。本题中三棱锥的侧面垂直底面，只需分别寻找面SAC和面ABC的外接圆圆心的垂线，以此为契机，建立半径的方程。其中三角形ABC为直角，它的外接圆圆心在AC的中点D，三角形SAC又为等腰，它的外接圆圆心肯定落在SD上，借助已知的面面垂直，可以得到球心O落在SD上。借助BD,OD,OB构建方程，此题迎刃而解。
例6：四面体A-BCD中，∠ABC=∠ABD=∠DBC=600,AB=3，CB=DB=2,求此四面体的外接球的表面积。
解题思路：本题的难点在于需要先发现三棱锥的面面垂直这一本质特征。通过取CD中点M，可以计算出三角形ACD为等边，且AM，BM，AB满足勾股数，即∠AMB为直角。通过寻找两个等边三角形ACD，BCD的外接圆圆心O1,O2的垂线的交线，解决此模型的球心O位置。建立了以O1OO2M四个点为四边形的矩形，得到O1O，O1A，OA的勾股关系式。结合正弦定理进行求解。
有关三棱锥已知面面垂直求外接球的半径的模型是三棱锥外接球模型中最为复杂、多变的一类。原因在于它的球心没办法通过其他补形、转化的方法进行求解，只能通过几何图形的位置关系找到球心所在的位置。即：三棱锥任意一个面的外接圆圆心的垂线上肯定有球心，寻找到两个面的垂线的交点，此交点必为球心来求解。通过此方法构建的外接球模型中有个最为显著的几何图形，就是一定会构建关于两个面的外接圆圆心与球心的一个矩形，通过矩形的特殊长度找到关于半径的等量关系式。在讲解此类问题时，球心位置的处理会对学生造成比较大的困扰，最好借助几何模型、几何画板对此几何体进行切割、旋转、展示，帮助学生在脑中构建此类模型的点线面的位置，最终解决此问题。
三棱锥的外接球的模型究其本质就是寻找球心。如果可以通过补形来寻找，可以大大简化此问题的求解，实在没办法补形，则就应回归几何本质，寻找图形特征，构建等量关系式。本文研究的三棱锥的外接球的问题在实际教学中可以帮助学生快速理清各类三棱锥的特点及方法，突破此类问题的难点。
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作者简介：吴萍萍（1988-01-03），女，汉，福建莆田，大学本科，中学二级，数学与应用数学