“构造全等三角形——角平分线”的教学设计--中国期刊网

字体：大中小

首页> 原创作品> 正文

“构造全等三角形——角平分线”的教学设计

发表时间：2021/7/12 来源：《现代中小学教育》2021年7月上作者：黄武科马亨源梁志新

[导读] 《数学》八年级上册在“全等三角形”这章的教学建议中表示，“要用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学”。在对“角的平分线的性质”这一节内容作解析时，目标中包含“能用角的平分线的性质解决简单问题”。本节课是角平分线性质的应用。

广西崇左市宁明县亭亮中学黄武科马亨源梁志新

        《数学》八年级上册在“全等三角形”这章的教学建议中表示，“要用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学”。在对“角的平分线的性质”这一节内容作解析时，目标中包含“能用角的平分线的性质解决简单问题”。本节课是角平分线性质的应用。
        一、教学内容的说明
        1.教学内容分析。
        角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用办法，本节内容是全等三角形知识的运用和延续。利用角平分线构造两个全等的三角形是使用角平分线的一种重要模式，也是证明相关元素对应相等的重要方法。
        2.学生认知基础。
        这节课的教学对象是数学分层班的A+层，本节课前，学生已经学习了三角形全等的性质与判定定理，对证明全等三角形有了初步的认识，对于较直观的全等证明有了基本的解题策略。但对较复杂图形（需添加辅助线构造全等）问题的解决能力薄弱。学生对于角平分线这个条件容易产生想法，但欠缺归纳总结提升。另外学生在进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难，在对辅助线的添加的说明中也存在不严谨的说法。
        二、教学目标的确定
        1.进一步掌握三角形全等的判定方法，并学会从较复杂图形中分解出全等基本图形，证明两个三角形全等
        2.通过小组交流讨论来激发学生解决问题的欲望，通过思考和合作探究进一步发现利用角平分线构造全等的一般方法；
        3.利用范例的演示和讲解来让学生切身体会数学图形的美和逻辑的严谨性；
        4.在基础练习的训练过程中，增强应用意识，培养主动探究和勇于探索的学习精神。教学重点：能够熟练应用角平分线构造全等的基本图形解决问题。
        教学难点：能够在较复杂图形中，利用角平分线正确添加辅助线构造全等三角形，运用相关知识巧妙求解。
        三、教学设计
        1.回顾已学知识，挑战新知。
        问题1我们学过的三角形的判定定理有哪些?
        学生甲：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。
        老师强调前四个判定定理适用于一般的三角形，HL只适用于直角三角形。
        追问1：如果我们在证明两个三角形全等时，全等的条件不那么直接或者不容易得到时，我们该怎么办?
        学生们：添加辅助线。
        追问2：该如何添加呢?
        师生：要依据题目的条件。
        设计意图：通过复习全等三角形的判定定理，为下面学习借助角平分线的性质添加辅助线构造全等作铺垫，引出新的课题“构造全等三角形——角平分线”。
        2.探究借助角平分线如何构造全等三角形。
        问题2：如果遇到下面的题目，你知道怎么解决吗？
        例1如图l，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CDBD平分∠ABC。
        求证：∠A+∠C=180。

        学生思考后，说出自己的做法“过作BA和BC的垂线段”，然后利用HL证明△AFD≌△CED。
        追问1：为什么作这两条垂线段?
        学生甲：可以构造全等。
        追问2：利用角平分线的什么在构造全等?
        学生们：利用角平分线的性质。
        追问3：有没有别的证法?
        学生乙：可以在BC上截取BE=AB。
        师生活动：学生讨论热烈，有的认为这种做法行不通，有的认为是可以的，老师引导学生乙说完自己的证明过程并总结利用角平分线构造全等的方法：
        （1）可以利用角平分线的性质向角的两边作垂线段；
        （2）可以利用角平分线定义中有两个相等的角去截取边。并和学生一起板书严格的证明过程。
        设计意图：让学生初步尝试利用角平分线添加辅助线来构造全等，并让学生意识到在利用角平分线构造全等时，可以利用角平分线的性质或角平分线的定义来构造全等。
        3.体会借助角平分线构造全等三角形的基本思想和方法。
        问题3：通过例1的学习，你们能否解决接下来的这道题呢?
        例2如图3，△ABC中，AB=2AC，AD平分AC，且AD=BD。求证：CD⊥AC。

        学生丙：在AB上截取AE=AC，连接DE。
        追问1：利用什么在添加辅助线?
        师生活动：师生共同完成通过截取后的证明过程。
        学生丁：我有另外一种证法，过D分别作DEB于点E，DF⊥AC于点F。
        师生活动：共同讨论后发现如果通过作垂线段来构造全等，证明CD⊥AC，最后会出现要证明两点（C和F）重合的情况，所以对于例2，首选作截线段的方法。
        设计意图：让学生在模仿利用角平分线的性质添加辅助线来构造全等时，虽然可以利用角平分线的性质作垂线段或者利用角平分线的定义来截取边等来构造全等，但一定还要结合题目的条件和结论选取最恰当的方法。
        4.理解和巩固利用角平分线如何去构造全等三角形解决问题。
        问题4：有了前两个问题的基础，我们能否快速解决下面这个问题?可以小组交流。
        如图4，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB和∠ABC，CD过点E求证：AB=AD+BC。

        师生活动：学生分小组讨论，老师巡视，指导。
        学生戊：延长AD至F使得DF=BC，连接EF，再证明△EFD≌△EBC。
        追问1：这样证明好不好，行不行?
        学生们：好（异口同声）。
        追问2：这样证明就没有问题吗?
        师生活动：在老师的引导下发现若要证明△EFD△EBC，需先说明点，E，F是共线的。而这道题中是没有办法说明三点共线的。通过进一步讨论发现可以避开证明三点共线：
        （1）可以改变辅助线的作法：延长AD交BE延长线于F；
        （2）换一种辅助线做法：在AB上截取AF=AD。
        设计意图：通过有梯度的训练，由证明角的关系到两边的关系再到证明三边的关系，让学生在利用角平分线的性质添加辅助线构造全等解决问题时，发现方法不一定是通用的，在添加辅助线时既需要紧密结合题意，还需要研究辅助线的说法才能严谨又准确的解题。
        5.归纳小结。
        教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：
        （1）利用角平分线添加辅助线有哪些方法?
        （2）利用角平分线添加辅助线时需要注意哪些方面的问题?
        设计意图：通过小结引导学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心———用角平分线构造全等三角形。
        6.布置作业。
        （1）整理以上各题，归纳总结基本解题思路；
        （2）完成学案。
        四、教学特色说明
        1.引入直接：通过复习全等三角形的判定定理引入新课，开门见山，也让学生在初次接触要通过添加辅助线构造全等的习题时不至于发懵，而会比较快的找到解题的方向。
        2.练一一讲一一学的教学方式：练习，讲解，学习的主体都是学生。教师让学生先练，再讲给其他学生听，让学生通过合作探究交流归纳出利用角平分线构造全等的基本的数学思想和方法。而教师始终作为一个引导者，通过不断提问，让学生思考，讨论，质疑，否定，再提出新的添加辅助线构造全等的方法。并针对学生提出的方法不断连续发问，让学生不断解决新的问题，从而使学生以独立思考或小组交流的方式不断完善自己的思维和证明过程。而教师是整个过程的引导者和完善者。对学生不严谨的证明过程，通过师生讨论交流提出问题所在，再不断地去完善方法，最后解决问题。
        3.有梯度的习题设计：三道例题和一道思考题，从例1探究两个角的关系到例2探究两条边的关系再到例3探究三条边的等量关系最后到学案中的思考题探四条边的不等关系，难度不断提升，题目形式不断地渐进变化，也让学生通过例题的变式去寻找利用角平分线构造三角形全等的核心，逐步去提升和完善自己的解题方法和证明过程，进一步体会研究几何图形的基本思想和方法。
本文系宁明县整体推进县域课堂教学改革实验研究-2019年度宁明县亭亮中学子课题《如何提高农村初中学生计算能力的教学模式》（立项编号：czkt2019—121）的研究成果