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聚焦问题多维探究——有余数的除法之余数变化规律

发表时间：2021/7/12 来源：《现代中小学教育》2021年7月下作者：方芳

[导读] 《数学课程标准》中提到：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，养成勇于质疑的习惯。”

合肥市滁州路小学方芳

        《数学课程标准》中提到：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，养成勇于质疑的习惯。”
        114÷(2×8) = 7……2
        114÷2÷8 = 7……1
        作业习题中一处余数的变化，引发了一场奇妙的数学之旅。
        【提出质疑】
        生A：根据除法性质，这两道算式结果相等，为什么余数不同？
        生B：余数不同，114÷(2×8) 与114÷2÷8能否划等号呢？
        生C：从计算器计算的结果来看，都等于7.125，为什么余数会不同呢?
        ……
        【聚焦问题】
        生D：114÷16 和57÷8不相等？难道商不变的规律欺骗了我们？
        生E：在有余数的除法算式里，被除数与除数同时乘或除以相同的数(0除外), 商不变，余数会变化吗？余数会怎样变化呢？
        【多维探究】
        探究一从位值原理分析：
        生A：苏教版四年级上册，教学被除数和除数末尾都有0的除法笔算时，下面两道竖式中的余数还是2吗?

      生B：左图的余数2位于十位，所以余下的是2个十，就是20。右图的余数2位于百位，所以余下的是2个百，就是200。
        生C：由此说明，被除数、除数同时除以10（100），商不变，余数也除以相同的数。
        【分析：学生从课本已学的知识中，从位值原理的角度，找到了余数变化的依据】
        探究二从除法意义分析

生A：观察上图，当被除数、除数同时除以2，结果都等于7，商不变，但余数变了，随之除以2。

      生B：被除数、除数同时乘3，商不变，余数随之乘3。
        ……
        生C：同理可推，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也随之乘或除以相同的数。
        【分析：学生从除法的意义出发，经历平均分的过程，找到了余数变化最初的样子】
        探究三依据除法算式四部分关系分析：
        生A：在有余数的除法算式里，被除数、除数、余数和商的关系为：被除数÷除数=商……余数，进而推导出：
        被除数 - 商×除数 = 余数
         57 - 8 × 7 = 1
         114 - 16 × 7 = 2
         171 – 24 × 7 = 3
           ……
        生B：还可以这样想：
        (被除数 - 余数)÷ 除数 = 商
       （57 – 1 ） ÷ 8   = 7
       （114 - 2 ） ÷ 16 = 7
       （171 - 3 ） ÷ 27 = 7
        ……
        生C：由此可见，在有余数的除法算式里，余数随着被除数、除数乘或除以相同的倍数（0除外），商不变。
        【分析：根据被除数、除数、商、余数四部分的关系，学生验证了余数变化的事实】
        探究四依据等式性质分析：
        生A：我们按等式性质，把等式两边同时×2来看。
                    除数   商   余数     被除数
                       8× 7 + 1    =    57
                    2×（8 × 7 + 1 ）= 57×2
                    2× 8 × 7 + 1×2 = 57×2
                 即： 16 × 7 + 2   =   114
        生B：我们还可以继续把等式两边同时×3，×4 …… ×n
        ……
        生C：因此可推导，有余数的除法里，被除数、除数扩大（或缩小）几倍，余数就扩大（或缩小）几倍。
        【分析：利用等式的性质再次说明了在有余数的除法算式里余数变化的规律】
        探究五依据除法与分数的关系分析：
        生A：两道除法算式，根据与分数的关系，通过变形可以看出，商没有变化，再通过约分，即结果相等。

      生B：可以得出，在有余数的除法里，余数是被除数里无法再次整除剩余的部分，并没有参与除法计算，因此产生了余数不同的情况。
        生C：是的，它是被除数的一部分，不是真正的商。
        生D：当余数再次除以除数，即就会出现商的小数部分0.125，因此余数不同，商是相等的，所以除法性质、商不变的规律并没有欺骗我们，114÷(2×8) 与114÷2÷8，114÷16 与 57÷8可以划等号。
        【分析：利用知识间的联系，再次让我们看到了余数产生的根源，余数为什么会变化，当再次与除数相除，商依然没有变等真相，解除了之前所有的疑惑。】
        在整个合作探究的过程中，学生从多种角度沟通了知识内在的联系，有效地分析了余数的变化规律以及其存在的合理性，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展了创新意识，真正实现了教师的引导和学生的自我发展的有效融合。