李相超
浙江省严州中学新安江校区 浙江 严州 311600
【摘要】为什么部分易错题高三学生无论怎么复习都会“一错再错”？为什么部分老师复习课越上越怀疑自己上课的有效性？笔者分析了高三数学复习课的现状，结合自身的教学实践，以高三解析几何教学为例，从一题多解、一题多惑、一题多变几种研究途径抛砖引玉，希望各位同仁重视对复习教学的研究，特别是对典型例题的研究，在一定程度上促进高三复习效率的提高，进一步促进教师专业素养的提升。
【关键词】典型例题研究 解析几何 一题多解 一题多惑 一题多变 专业素养
一、现状分析
高三数学复习课中，教师往往是先将整章知识内容进行简单的盘点，接着针对知识点给出相应的例题，然后进行练习巩固，教学如同“空对空导弹”，使知识网络的建立与例题教学相脱节；或者先出示例题进行分析，再联系知识点，单个例题对应单个知识点，由于例题所关联的知识点单一，使得知识点的横向联系和纵向联系缺乏；再者将一些自认为好的习题“拿来主义”，没有加以整合，学生在其中“疲于奔命”，看似做了许多题，但解题的本质没有抓住。上课过程中，急于分析问题，学生的学习往往处于一种被动的状态，课堂预设性很浓。更多的教师为了赶复习进度，舍不得花时间让学生对一个问题进行多角度、多层次、全方位的深入思考，而这恰恰是学生最需要的，这就使得学生失去了一次又一次“发现与再创造”的机会，不利于学生思维与能力的发展。长此以往，部分易错题高三学生无论怎么复习都一错再错；部分老师复习课越上越怀疑自己上课的有效性，专业素养停滞不前。
二、研究指向
数学应该是由数学知识、数学技能、数学思想三者交织在一起的。在教学中，应该以知识为载体，思想为主线，技能为核心，这样的教学才能让学生真正理解数学，认识数学的本质。其中知识依托于例题，例题的选取与加工的重任在于教师，在于教师课前充分的备课与对高考的研究。通过典型例题的优化，达到教学的目的，使学生在智慧的不断碰撞中凸显数学思维能力，激发学生的学习积极性，激活学生的已有知识和经验储备，以促进学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，实现高效课堂。
三、研究意义
教师通过典型例题的呈现，应力求给学生提供足够的学习探究时间和空间，让学生自主发现、提炼，通过交流，形成自己的观点，并能自觉运用相关知识解决有关问题。在这个过程中，教师一旦点燃学生的思维火花，必将引领学生走向思维的纵深，攀登思维的高峰，对培养学生的思维能力具有重要意义。在这个过程中，教师不断探索典型例题的最优设计方法，研究高效的复习教学方式，促进自身专业成长，逐渐融会贯通，提升自身专业素养。因此，教师重视对复习教学的研究，特别是对典型例题的研究，在一定程度上能够促进教师专业素养的提升。
四、研究途径
1．利用一题多解，对知识点进行多角度梳理分析。
新课程标准要求，学生应尝试从不同角度思考问题，即学生的思维活动不局限于单一角度，不受一种思路的束缚。通过一题多解的训练，学生对知识点进行多角度梳理分析，使学生对这个问题看得更全面，同时它也起到发散学生思维的作用，从而激发学生学习的兴趣。不一样的旅程，不一样的风景，换个思维也许更精彩！在高三解析几何复习中，对于那些基础性强，解题方法典型，又能一题多解的题目，教师一定用好好利用其功效。
例1：椭圆的弦被点平分，求弦所在的直线方程及弦长。
解法1（韦达定理）：
易知直线的斜率存在，故可设直线的方程为，由
消去，得
设，，由韦达定理有，
由于为弦的中点，得，解得，
从而弦所在的直线方程为，
弦长。
解法2（点差法）：
设，，由于为弦的中点，则，且
，两式相减得，
∴，从而弦所在的直线方程为，
由，若设，则，与，联立得，，代入，得，
所以弦长。
解法3：一学生受点差法及三数成等差的设法的启示，得到了一种比点差法更为优越的解法。由题意可设，，则有
，两式相减得，
∴，即得弦所在的直线方程为，
将代入中可求得，，
所以弦长。
解法4（椭圆系）：
由题意，若设，则，由
两式相减化简得，这说明点在直线上，
同理可得点也在直线上，从而弦所在的直线方程为，
弦长的求法同解法1；
其解题本质为弦为椭圆与椭圆的公共弦。
解法5：应用（三）中第3点，学生类比探究所得的化椭圆为圆的方法。
设，，则椭圆方程化为圆方程，，
故，由垂径定理知，由点斜式得直线的方程为
，即直线方程为，即；
由垂径定理得弦长，即，，化简得到，
又由于，联立可得，，
从而弦长。
解法6（直线参数法）：
设直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），将其代入椭圆方程并化简得，由韦达定理有，，由于为弦的中点，故，解得，从而弦所在的直线方程为，弦长；
解法7（椭圆参数法）：
由椭圆的参数方程可设，，
由于为弦的中点，则，，
∴
∴，
从而弦所在的直线方程为（其解法本质同解法5：化椭圆为圆法），
弦长的求法类似于法2（点差法），此处不再赘述。
2．利用一题多疑，对知识点进行多层次反思再建构。
对于一个数学问题，没有任何疑惑有时并不是一件好事，学生只有在不断反思，不断质疑中才能更深刻地看清这个问题的本质。学生的易错点大多是学生的疑惑点，对这些疑惑点进行多层次反思，有时还能产生新知识，建构新体系。
在高三解析几何教学中，直线的斜率问题一直是学生的易错点，而圆的相切问题也是高考的一个热点，以此为切入点，对一个问题展开一题多疑的教学，往往能收到很好的效果。
例2：已知圆：和点，过点作圆的切线，，其中，为切点，（1）求这两条切线，的方程；（2）求直线的方程。
对于第（1）问，部分学生解答如下：
设切线方程为，即，由于相切，故有
，解之得，所以切线方程为。
疑惑1：切线明明有两条，为什么只求出了一条？
解惑：点斜式方程没有考虑直线斜率不存在的情形，而本题还有一条切线恰好为斜率不存在的情形，即另一条切线方程为。
设计意图：过某点设直线方程时，学生往往会忽视讨论直线斜率不存在的情形，这是较多学生的一个“通病”。在高三解析几何复习课的教学中，此类题目必须作为“典型”来讲，若能抓住学生的疑惑，则能使学生更清楚地认识这一点。
疑惑2：本题一定要进行分类讨论吗？
解惑：设直线方程为即可。
设计意图：点斜式直线方程的另一种设法，此种设法包括斜率不存在的情形，但不包括斜率为0的情形。两种设法各有优缺点，通过对比，使学生在设直线的点斜式方程时学会合理选择，优化解题过程。
疑惑3：能否使设的直线方程更完美，既包括斜率为0的情形，也包括斜率不存在的情形？
解惑：设直线方程为即可。
设计意图：使学生明白此种直线方程的设法相当于直线的一般式方程，故没有局限性。在教学中，教师还可展开直线过定点问题的研究，以及直线系的研究，进而提高学生思维的深度与广度。
对于第（2）问，部分学生解答如下：
易知其中的一个切点为，另一切点可由方程组求得，由两点式知直线的方程为。
疑惑4：这种解法计算量是在太大，有简便的解法吗？
解惑：（法1）由平面几何可知为线段的垂直平分线，点即为点关于直线：的对称点，利用点关于直线对称可求得点的坐标。
（法2）由平面几何可知，，由直线的点斜式方程知直线的方程，即。
设计意图：两种方法都抓住了其中的一个特殊的切点及图形的几何意义，法1虽简化了一定量的计算过程，巩固了点关于直线对称的求解，但没有抓住问题的本质；法2在已知一个切点的情况下抓住了问题解决的捷径。
疑惑5：如果两个切点坐标都不易求出，又该怎么较快地解决？
解惑：设切点，可得：，又，两式相减得，这说明点在直线上，同理可得点也在直线上，从而，确定的直线方程为。
设计意图：上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标。从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识。
疑惑6：以上解法能否再简化？
解惑：以上解法的“背景”为圆系方程的应用。当两圆相交时，其公共弦所在直线方程即两圆方程相减，具体过程如下：
以点为圆心，切线长（或）为半径的圆方程为：
，
恰好为圆：与圆：的公共弦所在直线。两圆方程相减即得直线的方程。
设计意图：两圆相交时公共弦所在的直线方程在《必修2》第129页的例3旁注的“思考”中早已出现过，此解源于教材，高于教材，真正抓住了解题的本质：除圆外，只要再画一个过点，点的圆即可（当然要求所作的圆的圆心与半径是已知的或可求的）。
疑惑7：除符合条件的圆外，还有其他的圆可画吗？
解惑：由平面几何可知，、、、四点共圆，、两点连线恰为所做圆的直径，所以以的中点为圆心，长直径的圆的方程为，两方程、相减即得直线的方程。
设计意图：本题亦能在教材中找到“影子”——《必修2》第133页第5题，可以向学生说明我们平时许多疑惑的产生一般都能在书本中找到解答。现将教材试题呈现如下，可作为学生课后继续研究的方向。
已知以点和以点为圆心的圆。
（1）画出以为直径，为圆心的圆，再求出它的方程；
（2）作出以为圆心的圆和以为圆心的圆的两个交点，，直线，是以为圆心的圆的切线吗？为什么？
（3）求直线的方程。
3．利用一题多变，对知识点进行多目标拓展延伸。
题组加变式是高三复习课的一种行之有效的模式，在该模式下，能对一个较简单的问题不断地变换各种条件，符合例题选择与编排的渐进性原则，由浅入深，循序渐进，使原问题变“活”，从而发散学生的思维。利用一题多变，能对知识点进行多目标的拓展延伸，通过几个变式题的比较与分析，在变中寻找不变，在延伸中寻找共性，在比较中寻找差异。在解析几何中，直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考点，通过参数的引入，使直线或者圆锥曲线不同位置发生改变，进行变式教学，这应该也是一种典型例题教学。
例3：判断直线与椭圆的位置关系。
变式1：当为何值时，直线与椭圆相交、相切、相离？
变式2：你能很快地判断出直线与椭圆的位置关系吗？
变式3：直线与椭圆总有公共点，求的取值范围。
变式4：设点为椭圆上任意一点，求点到直线的最大距离。
变式5：已知直线与椭圆相交于两点，求弦的长。
变式6：已知直线与椭圆相交于两点，求的面积。（其中为坐标原点）
变式7：若直线与椭圆相交于两点，弦的长为，求的值。
变式8：若直线与椭圆相交于两点，求弦的最小值。
变式9：若直线：与椭圆相交于两点，且，(为原点)，求直线的方程。
变式10：若直线：与椭圆相交于两点，且，(为椭圆的上焦点)，求直线的方程。
变式11：若直线：与椭圆相交于两点，且，(为椭圆的上焦点)，求直线的方程。
变式12：设、分别为椭圆的上焦点和下焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，，到直线的距离为,求椭圆的方程。
五、研究结论
基于对高三复习课典型例题的研究，能在一定程度上促进教师对试题的理解，把握与感悟，从而很好地提升教师个人的专业素养。教师通过剖析、深入挖掘典型例题背后的“影子”，促使学生养成正确的思维习惯，掌握清晰的解题方法，启发学生多层次、多方面、多角度去类比联想思考，从而提高融会贯通、举一反三的能力，真正使典型例题在复习教学中起到“总领纲要”的效果。
【参考文献】
[1] 刘智强 基于变式与串讲的解题教学[J] 数学通报 2013