杨远志
四川省江油实验学校
在数学教学过程中，例题教学是一个重要的环节。我们不但要重视它本身的教学地位，也要重视它与其他知识的联系。例题是把知识 、技能、思想和方法联系起来的一条纽带；知识的价值、技能的操作、思想与方法的作用也都是通过例题来体现的；学生熟悉概念，确立认识，纠正错误、巩固知识也是通过例题来进行的。目前，学生数学核心素养的培养已成为初中数学教学的重要内容，而数学核心素养中的数学运算、逻辑推理、直观想象，以及建模能力，都可以运用课本中的例题以及习题的再次挖掘、整合，进行变式拓展来培养数学核心素养。对数学课本中的例题、习题从不同层次、不同角度、不同背景进行再研究，这样有利于培养学生的数学思维能力和创新能力，更有利于促进学生在数学学习和应用的过程中，形成良好的数学思维品质，使学生的学习能力得到发展，这也是在很好的落实新课程标准的理念。现在中考中的数学试题，注重考查学生对基础知识与技能的掌握；试题也注重回归于教材，把课本例题、习题进行变式拓展。所以教学中我们必须加强对例题、习题的整合、挖掘、变式以及拓展。
一、对解题思路方法的拓展，提高学生解题能力
数学学科思维十分灵活，教师要引导学生对题目进行从一般到特殊，再从特殊到一般的思维方法拓展。
例如：教材九上P39页，已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4）（2，7）三点，求出这个二次函数的解析式
该题可类比一次函数中的待定系数法，设二次函数的解析式为一般式，通过列出关于a、b、c的三元一次方程组就可求出a、b、c，从而得到二次函数的解析式，教学中可将该题进行由一般到特殊的改变，比如：使二次函数图象经过（-1，0）（3，0）及（1，4）三点求函数的解析式。许多学生在审题中，只抓住经过三点的信息仿照例题的解法，仍将解析式设为一般式，通过解三元一次方程组从而得到a、b、c的值，得出解析式。此时可提醒学生观察点的坐标特点，从点的特殊性入手，明确其中有两个点为特殊点，即函数图象与x轴的交点，可改设解析式为两根式得到一元一次方程求出解析式，这样就降低了运算的难度。此外引导学生进一步发现其中一点为抛物线的顶点，可将解析式设为顶点式，进行求解。通过题目的迁移改变，解法引申，让学生体会到从一般到特殊的思维过程，学会选择恰当的解题方法，可减小运算难度，提高解题能力。学生在选择适当的点后，加以灵活运用，对待定系数法有了进一步的理解。因此学生逻辑推理、建模能力得到发展，在学习的过程中，数学学科素养的形成也得到了落实。
二、通过对例题拓展，激发学生的求知欲，养成深入研究问题的习惯，培养学生分析问题的能力。
例如：九上P41页习题8，在三角形ABC中,∠B=90度，AB=12mm，BC=24mm ,动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s速度移动，动点Q从点B开始沿BC 向点C以4mm/S的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点两时出发，那么三角形PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出S关于t 的函数解析式及t的取值范围，对于此题我在教学中，做了如下问题延伸，再设计了几个问题：
1、几秒后，三角形PBQ为等腰三角形？
2、几秒后，三角形PBQ面积最大？并求出面积的最值。
3、在一张三角形ABC的纸板中,∠B=90度，AB=12mm，BC=24mm ,一只蚂蚁P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s速度移动，另一只蚂蚁Q从点B开始沿BC 向点C以4mm/S的速度移动，如果两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，那么它们能相距6mm吗？
通过对问题的拓展，激发学生积极思考，并将所学相关知识进行贯穿，借以巩固重要知识点，培养学生分析能力以及数形结合思想的运用能力，使学生真正学会如何用二次函数求最值。这种用数学方法构建数学模型、解决问题的素养也有利于学生在实际情境中，以数学的视角发现问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果，改进模型，最终解决实际问题，让学生体会数学源于生活，服务于生活的理念，形成正确的价值观念。
三、通过对例题结构拓展，培养学生的发散思维。
针对教材重要知识和学生掌握知识与技能的不足问题，例题教学宜求“变”求“活”。
例如：已知等腰三角形一腰为4，底为6，求周长
该例题比较简单，本质是等腰三角形性质的运用。讲解该例时应注重对其进行挖掘、变化，加深知识的拓展与延伸，根据具体学情进行变式。
1、将条件与结论互换设计变式1：已知等腰三角形一腰为4，周长为14 ，求底边（用于培养学生的逆向思维能力）
2、 改变条件设计变式2：已知等腰三角形一边为4，另一边为6，求周长（用于培养学生分类讨论思想）
3、针对易错问题设计变式3：已知等腰三角形一边为3，另一边为6，求周长（用于培养学生思维的严密性）
4、对知识进行适当延伸设计变式4：等腰三角形腰为x，底为y，周长为14，写出二者的函数的关系式，并画出图象（用以培养学生数形结合思想）。
通过不同变式练习，引导学生根据不同条件分析问题，解决问题，从多角度，多方向，多层次地思考，加深对基础知识的理解，学会变通，使学生积极思考探索知识的发生发展过程，有利于发挥学生主体能动作用。用例题的“活”使学生的思维向“深”和“宽”的方向发散，既能培养学生的发散性思维能力，又能激发学生的学习兴趣，拓展了学生思维空间，使例题的教育功能得到最大的发挥，也体现了核心素养中的“数学运算”和“数学建模”的两大理念。
四、通过对例题的图形变式，类比拓展，引导学生多角度探讨同类问题，培养学生的类比、归纳能力，渗透转化思想，促进学生的思维发展。
例如：正方形ABCD中P为正方形内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB大小
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该题可设计图形变式：将正方形ABCD改为等边三角形ABC内有一点P，PA=10，PB=8，PC=6，求∠BPC。或等腰直角三角形ABC内有一点P，PA=10，PB=8，PC=6，求∠BPC
通过这些条件的改变，培养学生思维的变通性和试题模式的发散性，有利于学生创造能力的培养和可持续性学习能力的提升。
在数学教学中，教师运用数学知识对课本中的例题、习题，从不同层次，不同角度，不同背景再研究，既丰富了学生的知识面，又激发了学生的学习兴趣。通过例题的变式拓展，以学生的思维活动为主体，给予学生广阔的思维空间，鼓励学生动手操作、合作交流、共同探索和解决问题 ，提高了学生对数学知识的认知度，并将数学知识进行转化，能提高学生举一反三能力，使学生能够将知识灵活运用，开发了学生的学习能力。教师在教学中应多对学生进行引导，让学生养成对例题的多角度，多层次的变式思考，培养学生思维的灵活性和深刻性。
总之，教材是有限的，思考是无限的，课本中的每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，体现着对知识、能力应达到的程度的要求。作为教师不仅要紧扣课本，认真钻研课本，在教学中既要突出课本基础性知识的作用，以及课本例题中数学思想方法的应用，也要重视对例题、习题的潜在功能的挖掘与利用。通过深刻分析教材，挖掘教材，设计灵活、多向、开放的例题，将例题、习题进行合理的整合、变式及拓展，调动学生参与课堂学习的积极性，达到丰富学生的思维空间，提高学生对知识点之间的相互联系，以及对知识的深度、广度有更加深刻认识的目的。学生能够把知识形成体系并能归纳总结，有利于学生数学学科素养的形成和发展。只有给学生提供广阔的思维空间，把对数学的学习由机械的模仿，大量的刷题，转化为探索和创新，才能使学生达到解一题会一类的目的。经过长期的学习和锻炼，学生的开拓精神和创新意识定会得到增强，学生的创新能力也会提高。最终，学生会真正喜欢学数学，真正学好数学。
【参考文献】
（1）《义务教育数学课程标准（2011年版）》
（2）《新课程这样评》「M」
(3)《试题研究》「J」