李小囡
乌鲁木齐市第七十一中学 新疆 乌鲁木齐 830000
“算两次”是一种非常重要的方法，“等积法”就是典型的代表.将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这是一种非常有用的数学方法—“算两次”[1]，也叫富比尼原理.单墫教授指出：“算两次”的典型做法是选择一个适当的量，从两个方面去考虑它，“一方面，另一方面，综合起来可得”，好象三步舞曲[2].数形结合、化归与转化、函数与方程等数学思想方法中都蕴涵着“算两次”思想精髓 ，因此，挖掘“算两次”方法，有助于提高学生的数学素养.“算两次”在初中教材中有广泛体现，虽然没有显现，却暗藏在教材的多处.下面笔者将选取几个例题和习题进行说明.
例1 “算两次”与一元一次方程（人教版教材七（上）88页问题2）
问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？
分析:设这个班有名学生.一方面这批书可表示为(3x+20)本.另一方面这批书共(4x-25)本.这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，得方程3x+20=4x-25.
说明：本题是将“这批书”用两种不同的式子表达，表示同一个量的两个不同的式子相等建立等式.
例2 “算两次”与三角形内角和（人教八（上）17页第11题）
11.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.求证∠BAC=∠B+2∠E.
分析:由题意得∠ECD=∠ACD=(∠B+∠BAC), 又 ∠ECD= ∠B+∠E ,
∴(∠B+∠BAC)=∠B+∠E ,
∴∠BAC= ∠B+2∠E .
说明：将∠ECD从两种角度用不同的式子表示，建立等式.
例3 “算两次”与整式的乘法
（人教八（上）99页单项式与多项式乘法法则几何证明）
问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长m，宽m的长方形绿地，向两边分别加宽m和m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？
分析:一方面先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即①；另一方面可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即②；所以.
说明：将“扩大后的绿地面积”用两种不同的式子表示，建立等式，验证了单项式与多项式乘法法则.
例4 “算两次”与二次根式（人教八（下）15页第7题）
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=CA=a.求AB的长.(提示：作出AB边上的高，借助△ABC的面积求解.)
分析:一方面S△ABC=;另一方面S△ABC=,建立等式求解.
说明：本题利用了等积法,是“算两次”的典型.
例5 “算两次”与勾股定理（人教八年级（下） 29 页14题）
14.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上. 求证:AE2 +AD2=2AC2.（提示：连接BD.）
分析：连接BD.由题意易证△AEC≌△BDC ， ∠ADB=90°.
在Rt△ADB中，AB2 =AD2+DB2;在Rt△ABC中,AB2 =AC2+CB2，
∴ AD2+DB2=AC2+CB2
又 AE=DB，CA=CB，
∴AE2 +AD2=2AC2 .
说明：本题将“AB2”在两个直角三角形中分别用勾股定理表示，巧妙化解了难点，使学生耳目一新.
例6 “算两次”与相似（人教九年（下）58页习题第11题）
11.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
分析:一方面S△ABC=S△AEF+S△BEG+S△FHC+S四边形EGHF
另一方面S△ABC= 建立等式可求解.
说明：此题是“相似三角形对应高的比等于相似比”的典型应用，从面积入手，用“算两次”这种截然不同的解法，给学生全新的感觉.
例7 “算两次”与圆（人教九( 上)100页例2）
例2 如图24.2-17， △ABC的内切圆⊙O与 BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
解：设AF=， BD=BF=AB-AF=9- ，
一方面CD=CE=AC-AE=13-另一方面CD=BC-BD=14-(9-)，建立等式可解.
例8 “算两次”与锐角三角函数（人教九(下)85页第14题）
14.如图，在锐角△ABC中，探究，，之间的关系.（提示：分别作AC和BC边上的高.）
分析：过点A作AD⊥BC，过点B作BE⊥AC.
在直角△ABD中，AD=csinB,
在直角△ADC中，，AD=bsinC ,
∴csinB=bsinC, ;
同理 ,
∴ .
说明：本题分别将线段AD、BE用两种式子表达出来,巧妙化解了难点.
上述几个例子展示了“算两次”在解题中的优越性.除了以上例题和习题，教材中还有很多这样可以用“算两次”方法解决的问题，“算两次”贯穿于整个初中教材.“算两次”实质上是从不同的角度来考察同一个量，在不同的问题中这个量可以是面积、线段、角度、坐标还可以是某个参数、代数式、方程、不等式,“算”出的另一个方面则可以是新的代数式、方程、不等式，也可以是和“数”相对应的“形”．在教学实践中，教师应该依据教材，深挖教材，在数学知识形成、发展和应用的过程中对知识和方法进行更高层次的抽象与概括[3]，提炼数学思想，促进学生积累活动经验，发展学生数学核心素养．
参考文献
[1] 王宗艳.浅谈中学数学中的一个重要数学方法—“算两次”[J].高中数学教与学，2013（11）.
[2] 单墫.算两次[M].北京：中国科学技术大学出版社，1992.
[3] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京 ：北京师范大学出版社，2012.1
[4] 人民教育出版社.课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书.数学.七年级-九年级