王奇能
犍为县罗城初级中学
新课程对数学提出了“四基”要求,即：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，新增加了基本思想和基本活动经验，这是初中新旧数学课程标准最明显的变化，充分体现了新课程标准对数学基本思想的重视，同时说明数学教学中培养学生数学基本思想的重要性和积极意义。数学基本思想对于学生数学知识的学习和掌握，数学能力的培养，数学学科素养的形成具有积极的作用。在数学基本思想中分类思想是数学基本思想中的一种，在初中数学中具有很重要的作用，本文谈谈分类思想在初中数学中的应用问题，以期引起广大数学教师和学生的重视，起到抛砖引玉的作用。
那么，什么是数学分类思想呢？分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。 在数学教学中运用分类思想的好处在于：一是往往能使复杂的数学问题简单化；二是可培养学生思考数学问题的周密性，条理性；三是可以促进学生对问题的理解，探索数学规律，发现数学问题的本质的能力；四是可提高学生数学变式训练，解决实际问题的能力；五是有效提高学生数学学科核心素养。
一、分类思想在课标和教材中的体现
《标准》提出义务教育阶段数学课程的总体目标和分学段目标，并从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面具体阐述。
《标准》使用“了解（认识）、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平，使用“经历（感受）、体验（体会）、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度。
在各个学段中，《标准》安排了四个方面的课程内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。
从上述表述中可以看出，《标准》从不同角度按不同标准把数学的学习进行了分类，我们作为教师在学习和理解《标准》时要深刻体会其用意，并将其分类思想体现在我们对教学的把握和教学实践中。
教材的编写采取螺旋式上升的结构，层层递进，在教学中按学生认识水平和能力的分类与综合，既要能够将数学分解为不同的层次，又要能将零散的数学进行综合，达到所谓“把厚书变薄和薄书变厚”。教师把自己对标准和教材的把握在潜移默化的过程中让学生感受分类思想。
比如：方程的学习，不同版本的教材都将其分别放在七至九年级，按学生的认识水平和数学能力分段编写，表面上看是零散的，但其内核是统一的。按方程的元和次进行分类。在学习一元一次方程时，引导学生认识到按元分类，以后将学习二次一次、三元一次以至多元一次方程；按次分类，以后将学习一元二次方程，一元三次方程以至一元高次方程；元和次的进一步发展，还将学习多元多次方程。到九年级学习了一元二次方程后，回过头来对方程进行综合，条理和线条就十分明朗，学生原来在心头的那么多关于方程零散的知识，一下子就串成了一条清晰的主线。
二、分类思想在具体数学知识中的体现
很多数学概念、数学原理、数学公式、几何图形等都要涉及到分类。
如绝对值的概念，需要将有理数的分类引入，才能形成对绝对值概念的正确理解，即正数的绝对值，零的绝对值和负数的绝对值。
又如三角形的概念，按角度的不同可以分为不同的类型，按边长的相同与否又可以分成不同的三角形。
再如，在平面直角坐标系中，按点的位置不同，可以分为四个不同的象限和X轴及Y轴几种不同的位置关系。
老师在教学实践中，需要将隐性的分类思想显性化，要将显性的分类思想明确化，使学生在学习中体会分类的意义，然后初步学会简单的分类，形成分类意识，进一步在具体问题中应用分类的方法解决问题，以达到对问题的全面分析和正确理解，培养严密的思维品质。
三、分类思想在解决数学问题中的应用举例
1、几何图形中的分类处理
例1、如图：点D是线段AB上的一个点，试以线段DC为一边作等腰三角形DCE，这样的等腰三角形有几个？
分析：由于等腰三角形的边分两种情况：底边和腰，因此此题应该分两种情况求解。
（1）以DC为底边的等腰三角形，如图1
（2）以DC为腰的等腰三角形，DC作为腰，其中一个点是底角顶点，另一个点是顶角顶点，所以要分两种情况
（i）点D作顶角顶点，如图2
（ii）点D作底角顶点，如图3
综上所述，符合条件的三角形共有四个。
2、代数概念中的分类处理
例2、试比较a与-a的大小。
分析：由于受小学六年正数运算的长期训练，在学生的潜意识里，看到没有负号的数，就当作正数，看到有负号的数就当作负数，因此，非常轻率地判断为a>-a。进入初中以后，首先学习了负数的知识，并引入了有理数的概念，然后学习用字母表示数，需要学生认识到a代表有理数，而有理数通常分为三种情况，即：正数，零，负数。所以此题需要分三种情况解答。
解答：（1）当a为正数时，-a表示负数，所以有a>-a；
（2）当a是零时，-a也是零，所以有a=-a;
（3）当a是负数时，－a表示正数，所以有a<-a.
例3、已知实数a,b,c满足，试求m的值。
分析：涉及到分式运算，一个隐含条件是分母不能为零。
解答：运用等比性质可知，化简得，下一步就可以通过约分求得结果，但是因为a,b,c都是实数，存在两种情况，一是a+b+c=0，二是a+b+c0。
所以分两种情况求解：
（i）当a+b+c0时，约分得m=
（ii）当a+b+c=0时，由于分母不能是零，所以不能作约分处理。可由a+b+c=0得b+c=-a，代入原式可得m＝-1。
在解决实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等，以及含有字母系数的方程、不等式，几何中图形位置关系的确定，等腰三角形，相似三角形的相关问题中，都要引起对分类的重视。
在教学中，应充分重视分类思想的渗透，，针对具体问题体会分类思想的重要作用，进行长期训练，从而提高学生的思维能力。