夏忠晓
浙江省杭州市萧山区所前镇初级中学 311254
摘要：中考复习既要注重知识点的复习，也要针对中考命题方向，结合数学思想方法进行有效复习。本文以“降幂思想”专题复习为例，学会了因式分解、开方法及整体代入的精髓就是降幂思想，联系解方程，不等式，代数式求值及二次函数的应用的相关知识，实现了专题复习课知识学习的巩固、延续和拓展功能。以专题复习的形式，在原有知识的基础上进行一定的深度、广度、难度的发展，提高学生运用知识解决问题的思维能力、解题技能。
关键词：专题复习；整体建构；降幂思想
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。九年级中考复习一直是我们九年级老师比较困惑及迷茫的，由于中考压力大，复习时间紧张，各学科任务较重，孩子们精力有限，这就要求我们九年级数学老师要合理安排好复习课，使中考复习达到最高效。“授之以鱼不如授之以渔”，掌握方法，形成思想才能使学生受益终身。
专题复习既要抓住主要知识和核心内容，又要关注中考命题的特点和方向，以某一重要的数学知识、技能或数学方法为切入点，对所学知识和技能的内在联系及数学思想方法进行较为深入的剖析。专题复习就显得尤为重要。以专题为单位组织复习，专题的选择要准，时间安排要合理，内容要具有代表性，围绕近几年中考试题的热点、难点，有针对性的进行复习。要注重提后小结，鼓励学生进行自我反思，提升解题能力。
下面以“降幂思想”为例，谈一谈中考专题复习的一些感悟。
一、教学设计中的分析与思考
1.回归教材
复习一元一次方程及一元二次方程的解法，找到解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程降幂，转化为一元一次方程求其根，这种解题思路实质是降幂转化思想。降幂思想简单的说，就是把“高次”问题转化为“低次”问题的数学方法。
2.方法技巧
降幂解题法可以用于其他方程求解，思路：根据问题的条件或题目本身的方程的结构，通过因式分解、开方、换元、整体代入等方法将方程次数降低，从而起到化繁为简的目的。
3.教学目标
①能根据方程本身特点，熟练地选择合适的方法解一元二次方程。
②通过对一元二次方程四种解法的分析，理解解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程降幂，转化为一元一次方程求其根，这种解题思路实质是降幂转化思想。
③通过对一些高次方程的分析，掌握常用的降幂方法如因式分解法，开平方法，换元法等。
④从更深层次去理解把握数学知识、方法之间的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力。
4.重难点设计
重点：通过对一些高次方程的分析，掌握常用的降幂方法如因式分解法，开平方法，换元法等，养成遇到高次的方程，就想到降幂的思维习惯。
难点：从更深层次去理解把握数学知识、方法之间的内在联系，掌握含有字母系数的一元二次方程的一般研究方法。
二、教学过程简介
（一）复习引入
1.解一元二次方程
①
②
③
【学生活动】学生根据自己掌握的解题方法，自行选择合适的方法解答。
【追问】问题1：你用什么方法解上述方程，选择这种方法的依据是什么?
问题2：解一元二次方程的各种方法体现了哪一种数学思想方法?
【设计意图】学生通过解三个同解的一元二次方程，复习解一元二次方程的四种解法，能根据方程特征选择合适的方法求解，并根据老师的追问，体会降幂的数学思想方法。同时还能发现方程不同，但是最后的解却可以相同，也就是同解的方程形式可以多样化，让学生感受到解题的乐趣。
2.梳理归纳
【师生活动】师生一起归纳板书如下图：
∵AB=0 ∵x2=m(m≥0)
∴A=0或B=0 ∴ x= 或x= －
（二）典例解析
例题1：，求的值.
问题：请观察方程，这是一个什么方程？未知数有几个？未知数的最高次数是几次？
【追问】从未知数的个数和次数来看可以认为是一个二元二次方程,是否可以考虑降次来解决问题？
引导学生：①方程右边是零，参照一元二次方程的解法将方程左边因式分解
②把y看成常数，把方程看成关于x的一元二次方程，用配方或者公式，通过开平方，用含y的代数来表示x，从而解决问题。
③求的是 的比值，通过方程两边同除以y2，然后换元设t= ，再解一元二次方程而解决问题。
变式1：已知，求的值.
变式2：已知，求x的值.
变式3：已知，求x的解.
【设计意图】通过例1一个二元二次方程的分析，体会降幂思想在解高次方程中的作用。养成看到高次方程，就想到降幂的思维的习惯。能考虑常用的降幂方法如因式分解法，开平方法，换元法等去解决高次方程的问题。后面又以三个变式题加以巩固训练，让学生感受到解这一类型方程的本质方法都是降幂思想，再次强化用降幂思想方法解决根式方程，高次方程等其他方程。这一类方程属于难度比较高的，当思维比较活跃的同学看到这些变式方程的时候他们是觉得很具有挑战性，可以让好的同学拓展思维，因为变式题围绕着同一个类型的方程改编，所以很多基础不是很好的同学也会通过类比找到这一类方程的解决方法，找到解决难题的成功的喜悦，也能从中获得成就感。变式2还可以复习一下二次根式的内容，解出两个解之后，还要根据题意中的字母x作为二次方根中被开方数的取值范围的要求，对最后的解有一个取舍的过程，这个隐藏条件还需要学生自己去发掘，自己去探究。几个变式题也以不同的形式展示方程可以有不同的表达方式，需要自己先对方程进行整理，使学生感受到数学的多样化，展示数学美。
例题2：关于x的方程
【追问】对于这样一个方程你能提出什么问题？
【学生活动】发表自己看法。
【教师总结】从定义出发它是一个一元二次方程吗？题目明确是关于x的方程，我们可以把这类方程认为是含有字母系数的一元二次方程，把a当成常数来处理。
问题一：你能判断这个方程解的情况吗？
问题二：你解出这个方程吗？（用含a的代数式表示）解得
问题三：观察方程的解，有什么发现？
【追问】a为何整数时，方程的两个解都是整数？
【追问】你自己能提出一些新的问题吗？
总结：我们研究含有字母系数方程的一般方法：
①确定方程的类型
②研究方程根的情况
③尝试解方程（解用字母系数表示）
④研究方程解的特征或关系
【设计意图】学会研究含有字母系数方程的一般方法还是始终围绕着降幂思想，并且在设计题目时以开放题的形式出示，让不同程度的同学都能有所收获，提出不同的问题，发散思维。
例题3： 求的正整数解.
【学生活动】观察方程，这是一个怎么样的方程?方程中有几个未知数，次数是几次，考虑怎么解决这个问题。
【追问】这个与我们学过的方程有什么关系？能不能根据我们掌握的方程的处理方法来解答这个问题？方程可以认为是一个二元三次方程，右边为零，是否考虑将左边三次四项式因式分解，请试一试。
【学生活动】在老师引导下，学生分组分解得∵a为正整数，则, 。将变形得,又a,b都为正整数，解得a=2,b=1；a=1,b=0(舍去)。
【总结】可见看到高次方程利用因式分解把原方程降幂为低次方程是我们可以考虑的方法。那还有其他的方法吗？根据例题1，例题2的经验这个方程能看成一个有字母系数的一元二次方程吗？
引导学生继续研究，把b看成字母系数，原方程可化为,此时当b=2时，2a+2=0，得a=-1,不合题意舍去；当b≠2,用公式法得a=-1(舍去), ，问题又迎刃而解。
【设计意图】利用一个二元三次方程，让学生继续体会因式分解，开方等降幂方法的在解决高次方程中的作用。掌握含有字母系数的一元二次方程的一般研究方法。
（三）反思小结
1.解一元二次方程的一般方法有哪些？
2.这些方法的本质是什么？
3.高次方程的解题思路是什么？
最后教师将学生的归纳总结整理在黑板上，以思维导图的形式展示，学生会更加的印象深刻，帮助学生理解和掌握。
(四）作业布置
题组之一：
（1）若，求的值.
（2）若,求的值
（3）已知关于x的方程的两根之差为，求a的值.
拓展之二：若,且x≠y,求的值
【设计意图】题组一的设置，在于引导学生整体类比这三个子问题的内在联系，体会降幂思想的变式应用，使学生在体会整体代入、因式分解降幂解决高次方程或者含有字母系数的一元二次方程等过程中，活化降幂思想的内在应用与建构，渗透数学建模、推理的数学素养；
拓展性问题的设置，是对学有余力的学生而言，有挑战性，使他们尝试在构造一元二次方程模型的过程中，整体代入降幂解决问题，进一步体会整体、降幂、建模等数学思想应用。
三、策略研究
作为中考专题复习课，如何发挥巩固知识、延伸拓展、感悟数学思想方法和发展数学问题解决能力的作用，如何使学生在知识的再认识过程中进一步领悟数学思想方法，提炼出一般的解题方法，如何使学生对所学知识融会贯通、运用自如，这需要教师深度融合数学思想方法进行策略研究，使中考复习更高效。
策略一：整体设计
中考专题课复习要使学生能把各个章节中的知识联系起来，提高综合运用知识的能力，促进数学思想的形成和数学方法的掌握，培养学生的数学能力，使学生从容应对中考。同时我们还要培养学生用一个整体的观点来思考数学相关知识，提高整体的教学效果，发展学生数学核心素养。中考专题复习就是围绕中考进行系统的复习，数学思想方法是中考的一个热门考点，结合数学思想方法，能有效拓展与知识内容相关的数学学科核心素养的方向作为专题复习的学习研究主题。比如也可以研究数形结合思想，分类讨论思想，方程与函数思想，转化思想，整体思想，消元思想，化归思想，都可以仿照降幂思想的设计，以专题复习的方式，还可以加上思维导图的帮助，让学生更好地对知识及方法进行整理和巩固，为中考作好充分的准备。当然我们的前提还是要从学生的学情出发。学生已有的基础是对于解一元一次方程是非常熟练的，但是解一元二次方程会存在一定的困难，教师就帮助学生从中提炼出降幂思想。为了调动学生的积极性，可以设计课前检测，让学生了解在解题中所用到的知识点，然后引导学生对知识进行整理归纳，并会简单的应用。
策略二：多级追问
提问是创新的开始，具体地可以在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，层层递进，引导学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。本节课的复习引入通过用不同的方法解三个同解方程，复习解一元二次方程的四种解法——因式分解法，直接开平方法，公式法，整体代入法。四种方法的本质都是降幂的数学思想。例题的题目难度逐渐加深，体会了降幂思想在二元二次方程，根式方程及高次方程中的应用，整个题目以问题串的形式，以几个变式方程的形式呈现，同时紧接着解一个含字母系数的一元二次方程，最后拓展到二元三次方程。每一个问题的呈现当学生遇到困难时，都是层层剖析，层层递进，多级追问，引导学生找到解决问题的方法，并且能够解决这一类型的问题。在中考专题复习课中通过变式题或者问题串的设计，多极化追问，不仅能够能沟通知识的纵横联系，使知识系统化，有利于知识的记忆、理解、掌握、应用、深化，而且使学生思维活动的抽象程度和对事物本质规律的理解水平逐步提高，求同存异思维得到发展。
策略三：发散思维
问题的解决不一定是按照某个固定的、明确的程序，使用某种技能就能完成的，思考问题的方向不是很明确，解决问题的路线不是很清晰，通常要经历一定的尝试与试误过程。开放型问题的设计是有个性化的数学活动，不同的人往往有不同的表现和不同的成果。从不同的角度来观察问题，往往有新的收获，开放型题目是培养能力的有效途径，使思维训练更有价值，更有成效。例2设计成一个开放型题目，让学生自己补充问题自己解答，让不同程度的同学都能有所收获，这样不会导致程度比较好的同学有吃不饱的现象，也不会使基础不是很好的同学无从下手。
策略四：深度反思
在解题结束后，教师应注重引导学生解题后及时进行反思。在反思中引导学生总结在解决问题中所运用的知识点和思想方法，以及解题策略，明确知识的适用情境，以及能否推广到更一般的问题中去，达到举一反三的目的。学生如果都能做到解题后进行反思，那我们的学习也会更高效。善于反思和总结，做一题懂一类，积累解题经验，提高解决数学问题的能力。
四、结束语
融合数学思想方法的专题课复习教学，对于九年级学生巩固知识，学会解题方法，领会数学思想，发展数学学科核心素养和解决问题的能力，具有重要作用。中考复习可以多设计一些这样的专题复习，以知识点为基础，以数学思想方法为主线，培养学生分析问题，解决问题的能力。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.