沈大桩
浙江省杭州市萧山区所前镇初级中学
摘要：初中数学中考复习中绕不开解题教学，在解题教学中，老师一定不能依赖题目本身的特殊性，去寻找所谓的奇思妙解，而是要引导学生理解问题的本质，利用具有规律性和普遍意义的解题方法和数学思想去解决问题，谓之通性通法教学。在解题教学过程中如果能够重视通性通法教学，那么对初中数学中考复习一定会有非常积极的意义。
关键词：通性通法教学 对称轴 点到对称轴的距离 函数值的大小
问题提出：初中数学的学习主要是数学知识和数学思想两条线路，要求我们立足课程标准，重视知识本质，淡化解题技巧，注重通性通法，渗透数学思想方法，提高学生逻辑推理能力，所以在初中数学中考复习解题教学中，应该引导学生利用所掌握的数学知识，找出问题的本性，结合数学思想和解题方法去解决问题。而通性通法蕴含着丰富的数学思想和解题方法，虽说通性通法教学是一种有效的解题教学方法，但是在实际的初中数学解题教学中，教师通常容易忽视这一点，一方面，认为对于通性通法教学更多的是高中阶段的教学方法，另一方面，认为在课堂教学中用通性通法教学过于花时间。所以，在整个课堂解题教学中，忽视问题的本质，而是去研究问题的特殊性，导致思考问题的角度发生偏差，导致问题稍作变动，学生就束手无策。例如：在某一堂校级公开课中，上课教师给出如下问题：
已知抛物线 的图象上有两点 则-----（ ）
A B C D 无法判断
开课教师是这样分析此题的： 是当x取-2和3的时的函数值，所以可以求出 ，因为 ，所以 。
此题按照它的特殊性当然可以这样去解释，但是老师没有继续引导学生去思考题目的本质，所以我认为教师思考的方向就出现了偏差，一旦表达式中，字母系数不是常数项或者由多个字母系数时，学生就没法用老师的解释去解决问题，这也可以在后续的当堂练习中看出来。如何避免此类情况在初中数学中考复习解题教学中出现呢？下面是笔者以“二次函数值的大小比较”为例的实践和应用。
问题解决：
本节课的教学目标是经历二次函数值的大小比较方法的探索过程、掌握二次函数值的大小比较方法及其应用、在二次函数值的大小比较方法的探索过程中，体验数形结合，分类讨论的数学思想。为此，笔者按照以下步骤进行课堂教学。
一、方法探索
二次函数 的图象上有两点 且 请你写出两组符合条件的 的值。
探索过程：
①先让学生说几组 值，然后把A、B两点的位置，按照对称轴进行分类，得到下面四种情形。
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图一：A、B两点都在对称轴及其它右侧，图二：A、B两点都在对称轴及其它左侧，图三：点A在对称轴的左侧而点B在对称轴的右侧，图四：点A在对称轴的右侧而点B在对称轴的左侧
②请分别计算四种情形中A、B两点到对称轴的距离，并比较距离的大小。
如：
③如果用题中的 和 来表示A、B两点的坐标，则四个不等式将如何改变？
④问题：能否用一个不等式来表示上述四个关系式？
⑤如果把上题中的二次函数 改成 ，则这个式子将怎样改变？
通过以上从特殊到一般的探索过程，帮助学生理清式子（即通性通法）的由来，并在探索过程中体验数形结合、分类讨论的数学思想方法。
二、方法应用：
可以看到，上述方法可以作为比较二次函数值的大小的通性通法，所以在后面的环节中，安排了对此法的若干应用，包括直接应用，逆应用和分类讨论思想在解题过程中的渗透。
基础层次的应用:
二次函数 ，当自变量x分别取 时,对应的函数值 的大小关系是 。
教学过程中与学生互动的片段：
师：二次函数图象的开口方向朝哪里？
生：因为a<0,所以开口朝下。
师：二次函数图象的对称轴是什么？
生：直线x=2.
师：计算并比较横坐标为 的三个点到对称轴的距离。
生：
师：根据之前的结论， 的大小关系如何？
生：
题后小结：先求出对称轴，然后求出点到对称轴的距离并比较大小，最后根据a的正负性比较出二次函数值的大小。
提高层次的应用:
二次函数 ，其中 ，已知点 在该函数图象上，若 ,求 的取值范围。
教学过程中与学生互动的片段：
师：二次函数图象的开口方向朝哪里？
生：因为a=1>0,所以开口朝上。
师：二次函数的图象与x轴的交点坐标是什么？
生：二次函数的图象与x轴的交点坐标是（-a,0） （a+1,0）.
师：所以你能求出二次函数图象的对称轴吗？
生：直线 .
师：根据条件“ ”是否可以判断P、Q两点到对称轴距离的大小？如果可以，用不等式表示出来，并求出答案。
生： 即： ，所以
题后小结：先判断图象的开口方向，并求出对称轴，然后根据函数值的大小确定点到对称轴的距离的大小，最后根据点到对称轴的距离的大小列出不等式求解。
挑战层次的应用:
已知抛物线 ，经过 ，且 则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
教学过程中与学生互动的片段：
师：二次函数图象的开口方向朝哪里？
生：不知道a的正负性，所以需要分类讨论。
师：根据条件“ ”可以得到什么结论？
生：A、B两点到对称轴的距离的大小。
师：那么当a是正数（即开口朝上）时，可以得到什么结论？
生： 即
师：那么当a是负数（即开口朝下）时，又可以得到什么结论？
生： 即
师：所以我们的答案是A。
题后小结：根据条件中“ ” 判断出A、B两点到对称轴的距离的大小，然后通过分类讨论，得到a的正负性与 的大小关系，最后结合题目选项得到本题答案。
以上三个问题，是按照基础层次应用、提高层次应用、挑战层次应用难度梯度逐步提高，从方法的直接应用，到方法的逆应用，到分类讨论在解题过程中的渗透来设计的，其中基础层次应用是对二次函数值的大小比较方法的直接应用，考查学生是否掌握二次函数值的大小比较方法，通过判断点到对称轴距离的大小来比较函数值的大小。提高层次应用是二次函数值的大小比较方法的逆应用，需要对二次函数值的大小比较方法有更加全面的理解，先利用抛物线的对称性，用图象与x轴的交点横坐标求出对称轴，再根据函数值的大小判断点到对称轴距离的大小来列不等式。挑战层次应用不仅需要熟练的掌握二次函数值的大小比较方法，还要学会对问题进行分类讨论，利用问题的条件得到点到对称轴的距离的大小和a的正负性，两者结合起来去解决问题，对学生的要求较高。
课堂小结：
1、比较二次函数值大小问题需要哪些知识？
二次函数的一些性质，抛物线上的点到对称轴的距离，带绝对值的不等式的计算
2、比较二次函数值大小问题一般方法是什么？
①求出对称轴②求出点到对称轴的距离并比较大小③根据a的正负性比较出二次函数值的大小
问题反思：
以上范例是本人在初中数学中考复习解题教学中关于通性通法教学的实践和应用，通过这节课的学习，我相信学生会对二次函数值的大小比较一定会有本质的认识，今后解题时不拘泥与题目本身的特殊性，而会去思考问题的本质。同时我们也看到通性通法教学在数学解题中的重要位置，不管是教师在解题教学中，还是在学生思考问题中都是最适用的，我觉得应该是数学解题的主流方法，所以在教学过程中，要引起教师的重视，和对学生的引导。从中考试题中，我们不难发现，中考考查的是学生对基础知识的掌握程度，基本技能和通性通法的考查，从近年中考试题中明显发现命题的风格是内容丰富且与教材是紧密的联系，试卷中的试题，大多题目取之于教材并对其作适当的改编，基本没有偏题和怪题的出现，所以我们要改变原有的初中数学中考复习解题教学思路，从研究偏题、怪题和难题这条路转型到对问题的通性通法研究上来。
随着新课程改革的大力推广，教师教育理念的改变，我相信越来越多的教师在解题教学中会倾向通性通法这一符合学生认知规律的教学方法，思考问题时研究通性，在教学过程中传授通法，使学生搞懂本质，追本溯源，真正做到举一反三。
参考文献：
[1]《初中数学新课程标准》，北京师范大学出版社，2011年版。