陈红辉
浙江省温岭市职业技术教育中心
【内容摘要】巧用数形结合能将抽象的数学知识具象的展现出来，也能促使学生修正自身的解题思路，提升学生的学习能力，培养学生的学习兴趣，最后得到良好的教学效果。本文将探讨数形结合思想的具体内涵，并通过“以数定形”、“以形解数”两个方面来分析“数形结合”思想在中学数学教学中的应用，以供参考。
【关键词】数形结合 数学教学 思维过程 具体应用
一、数形结合思想内涵
数形结合是一种新颖的教学方式，在中学数学教学中具有重要作用[1]，只要运用得到，便能得到良好的教学效果。中学的数学内容聚焦于数与形，具体来讲，是变量间的逻辑关系与对应的空间图形。教师在指导学生的过程之中若能巧妙地引导学生将数量关系与空间图形相结合，便可以有效地降低知识接受的门槛，促使学生在解题过程中达到事半功倍的效果。除此之外，以往的教学方法、教学观念存在学生兴趣性低下的问题[2]，在课堂面授过程之中学生难免会感到枯燥和乏味，与此同时，中学的数学内容已经具备了一定的难度，学生在上课过程中多多少少会出现注意力不集中，学习效率低下的问题，导致不能跟进教师的教学节奏，影响教学进度以及学生的知识接受程度。而将数形结合思想巧妙地融入教学环节之后，一方面，可以增加课堂的趣味性，通过简单的图形展现复杂的函数关系，提升学生的学习积极性，也有利于梳理相关的数学理论知识；另一方面，配合图形的诠释，学生能够更快速的解题，在面对新的难题的时候能够有足够的信心独立解题。
二、以数定形
（一）数形结合思想可以搭配传统的教学观念帮助学生更快的理解数学知识点
由于高中数学的内容较为繁多、学生的基础参差不齐，确实存在这样的一个现象，部分学生在理解新的数学知识点的时候，接受能力较为薄弱，反应较慢，如果不通过传统的大量的题目训练，无法形成牢固的记忆，在应试过程中，记忆错误，会导致严重的失分。数形结合思想的运用，可以帮助学生无论是在平时还是在考场上，重新捋顺解题思路，并提供一个很好的验证思路。
例如，在三角函数之中，对一个sin函数加上π/2、π，sin函数是否要变换为cos函数，以及函数的正负号如何进行变化，传统的教学思路给学生们留下了一句口诀：奇变偶不变，符号看象限。诚然，这句教学经验对于学生理解三角函数有很大的帮助，但是在实际应用之中，死板的按照这句话对三角函数的变换、符号进行判断依然会出现不少的错误。利用数形结合思想，在坐标图上绘制出一个小于π/2的角的图形，以垂直于X轴的AB线段长度代表sinα的值，如图（1）。Sin(α+π/2)的值由图（2）中的CD线段长度进行表示，sin(α+π)由图（3）中的EF线段长度表示。Sin(α)在进行sin(α+π/2)的变换后由图一变为了图二，AB线段与CD线段均在X轴的上方，可知此时的符号依旧为正号，不发生改变，其次，变换的π/2是π/2的奇数倍，sin函数变换成为了cos函数；再看第二个变换sin(α+π)，AB线段变味了DE线段，可知，此时的DE线段在X轴的下方，符号为负，π是π/2的两倍，即偶数倍，sin函数依旧是sin函数，最终变换成为了-sinα。数形结合很直观的将这两种变换展现了出来，学生也可以自行的对cos、tan、cot等函数进行自由变换，寻找其中的规律，总结出适用于自己的思想方法，在面对此类型的题目的时候，都能够依据图形做出正确的反应，极大的提高了解题的正确性，正所谓授人以鱼不如授人以渔，数形结合思想便具有“渔”的智慧。
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（二）数形结合思想在高效传递信息的过程中起到了重要的作用
在中学数学的教学过程之中，许多抽象的数学概念理解起来本身就存在着一定的难度。如果在教学过程之中，教师只是用单板的等式配合口头表达进行解释，学生的接受程度便会参差不齐，时常产生理解偏差，极大的降低了课堂上的教学质量。一旦运用了数形结合的教学思想与实践，教师便可以将晦涩难懂的抽象数学知识以具象的形式表达出来，不仅能够使自己的表意更加准确，也能让学生充分的理解课堂的内容，激发了学生的学习兴趣和想象力，图文并茂，形成教师与学生之间的良性互动。
（三）数形结合的教学方法可以有效地搭配现代化的教学设备
随着中学数学难度的不断提升，以往一些简单的初等函数可以用图形进行表示，即使在作图过程之中存在着一定的误差也无伤大雅。但类似于高次函数的作图，则不是人力所可为，现代化的教学设备可以将复杂的函数进行解析，再进行相应的作图，且可以不断的加以变化，让抽象知识直观的展现在学生们的面前，提升学生对复杂函数、高等函数的理解，通过生活中的实物,让学生举例并进行交流,我们及时对学生的反馈做相应评价,激发学生学习兴趣,提高学生空间想象力[3]，对提高应试质量有明显的效果。
三、以形定数
解析几何是高中数学的一大难题，其中很大一部分的解题步骤可以通过图形进行简化，省去了许多不必要的计算过程。常规的圆与直线的关系、椭圆与直线的关系以及反函数与各条渐近线的关系，都能通过图形简要的表现出来，帮助学生理解出题者的意图，更好的运用相应的数学技巧进行解题。
例如下面这道题目，在运用了数形结合思想之后，就变得异常的容易。
已知圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=1.A、B两点的坐标分别为(-m,0),(m,0)(m>0).P为圆上任意一点，若满足AP⊥PB,则m的最大值为__.只要学生们在教师的启发之下画出图（4）所示的图形，该问的答案便很快浮出水面，已知PA与PB一直保持垂直，则能推出，P、A、B三点在同一个圆上，同时PA、PB、PC三条线段的
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长度相等，要求m的最大值只需要取最大的OP即可，又P在圆C上，只需要取圆C上距离原点最远的点即可。由圆的方程可知，圆心至原点距离为5，加上圆自身的半径，则m的最大值为5+1=6。
一道看似毫无头绪的几何题，通过作图，寻找点与点之间的关系，最后转化成求圆心与原点距离最大值的问题，数形结合思想以化繁为简，化整为零的方法论，极大的简便了解题的过程，精准的引导学生得出正确的答案。
其次，在各类寻找切线以及求切点的难题之中，数形结合也发挥了不可忽视的作用。诚然，面对一个复杂的二元二次表达式，可以直接根据题设条件，假设出相应的切线方程，再据此进行计算。但在实际的解题过程之中，只要字母一多，式子间的关系一复杂，就会难倒大片的学生，就算能够理清式子间的关系，大量的字母运算也很容易出错，而此时数形结合的应用可以简化这一过程，让切线和与切点的关系更加直观，在假设直线方程的时候可以有意的构造不同的形式，以排除不符合题设条件的直线方程设法，从而引导学生更快更准确的解出答案。
在课堂教学中培养学生的数形结合能力需要结合学生的认知规律，制定详细的计划，按部就班的开展培养工作.先通过教材知识的深入讲解，使其打牢数形结合基础，而后围绕所学讲解例题，提高其数形结合应用意识，尤其应给予其解题引导，使其掌握相关的技巧.另外，还应定期组织学生开展训练活动，使其积累解题经验，在解题中融会贯通[4]。
[1]左先华.高中数学教学数形结合思想的运用[J].当代家庭教育,2020(21):90.
[2]刘冬青.将错就错,培养学生发现问题的意识[J].内蒙古教育,2020(3):61-63.
[3]路占金.初中物理“分层教学,分类指导”教学模式研究[J].试题与研究,2020(23):7.
[4] 陈华兰.课堂教学中如何培养学生的数形结合能力[J].数理化解题研究,2021(06):8-9.
[5]徐秀英.数形结合思想在高中数学教学中的应用分析[J].佳木斯职业学院学报,2021,37(03):112-113.