李银英
开平市风采中学,广东 开平529300
摘要:本文就分组分配问题的常规教学作了深刻的探究，透过一系列的变式练习让学生理清各种分组与分配问题的本质，并对教学中每一环节的设计作了深刻的反思.
关键词:非平均分组,完全平均分组,部分平均分组,定向分配,不定向分配
分组与分配问题是排列组合中的难点问题，在历年的教学中发现，不少学生对这一模块的知识点比较含糊，似懂非懂，思维比较凌乱.鉴于此，我对这一节课的授课形式作了多次的尝试，最后整理出学生理解比较透彻的一个教学思路，现分享如下：
一、分组问题：
分组主要有非平均分组、完全平均分组、部分平均分组，编排三个简单的问题，引导学生先把分组情况用列举法一一列出，在列举的过程中体会各种分组的区别，理解列出式子的意义：
例题1：把4张不同的邮票分成两份，其中一份1张，一份2张，共有多少种不同的分法？
分析：设4张邮票编号分别为，列举如下：
共有4种不同的分法；列式：
反思：这个属非平均分组问题，式子不涉及到重复计数，因而不需去序,该题的编排旨在让学生理解组合数的简单应用.
例题2：把4张不同的邮票分成两份， 每份2张，共有多少种不同的分法？
分析：在学生用组合数式子列完例题1接着做例题2时，很容易直接算出：的结果，这时引导学生尝试用列举法列出来看看结果是否正确.
设问：这道题的列式跟例1思路如出一辙，结果怎会出错呢？
通过列举，学生不难发现，列出的6种结果两两重复，所以实际上只有3种不同的分法，准确列式应为：.
反思：这个属完全平均分组问题，式子中每种分法重复计数了两次，因此要除以去重，该题的编排旨在让学生通过列举，对组合数中的每种分法为什么重复、哪里重复、重复了多少有一个比较深刻的理解.
例题3：把4张不同的邮票分成3份， 其中一份2张，另两份各1张，共有多少种不同的分法？
分析：有了例2的引导，学生做该题时小心了很多，开始不少同学直接列式子：，但是当他们列完，马上懂得去考虑是否有重复计数的问题，很快就有学生看到重复计数了两次，所以实际只有6种不同的分法，
于是学生自己整理出式子：.
反思：该题属部分平均分组问题，该题的编排旨在让学生分清完全平均分组与部分平均分组的区别，理解该怎么排除重复计数.
二、分组讨论
在这个环节，学生想到了很多挺有趣的问题，这里罗列一二：
问题一：把7张不同的邮票分成4份， 其中一份1张，其余3份各2张，共有多少种不同的分法？
有了前面知识点的铺垫，学生变醒目了很多，通过讨论，先选：，但由于后3份都是2张，该式子中还要去重，所以最后的不同分法只有：.
问题二：把11张不同的邮票分成5份， 其中一份1张，有两份各2张，另外两份各3张，共有多少种不同的分法？
在学生提出这个问题时，我惊喜了好一会，这也是一个很典型的分组问题，有两份是平均分组的，引导学生思考：式子有多少是重复计数的？学生不难想到两份2张的重复计数了次，两份3张的也重复计数了次，所以该题最后的不同分法有：.
反思：该环节的设置旨在激发学生的思维，发挥学生的奇思妙想，进一步探究不同的分组问题，从而更深一步理解去重问题.
三、理论升华：
思考：以上问题都是在研究如果分组的问题，由此可得出什么结论？
结论1：非平均分组问题不涉及到重复计数，只需用组合数选好即可；
结论2：平均分组问题要去重，平均分为组，重复计数次，用组合数选好后要除以；
结论3：部分平均分组问题，对于平均部分要去重.
反思：该环节的设置由例题升华为理论，让学生对于分组问题有一个系统的掌握，进而推广到一般性的分组问题中去.
四、分配问题
分配问题属于排列问题，一般分为定向分配和不定向分配，我引导学生做分配问题的原则是：先分组，后分配.
例题4：有7名消防员到A、B、C三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名消防员，B、C两个社区各2名消防员，则不同的分配方法有 .
分析：可先从7名消防员中选3人到A社区，再从剩下的4名消防员中选出2人到B社区，剩下的2名消防员去C社区，所以不同的分配方法有种.
反思：该题为定向分配问题，题意已指定A社区3人，其余两个社区各2人，利用组合数选好即已经完成分配任务，不需要再重新排序，该题的设置旨在引导学生如何利用组合数处理定向分配问题.
例题5：（例题4的改编）有7名消防员到A、B、C三个社区参加抗洪救灾工作，每个社区至少2名消防员，则不同的分配方法有 种.
分析：完成该题的分配任务分两步：
第一步：把7名消防员分为3+2+2的3组，则有：种分法；
第二步：把分好的3组分配给3个社区，有种分法；
所以不同的分配方法有种.
反思：该题为不定向分配问题，与例4不一样的是分好的3个组没有指定到哪个社区，故而要乘以进行排序分配.学生在做这题的时候思维会有一点凌乱，有学生列成：，这时适当引导学生思考犯了什么错误，学生经过讨论不难发现，在分组时忘记部分平均分组出现了计数重复的情况，因而要除以去重再考虑分配，分析到这个点的时候，一再强调：对于分配问题坚持“先分组，后分配”的重要性，这样可以做到不重不漏不乱.
五、拼搏模拟，实战高考
1、（2019广州天河二模）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）
A、360种 B、330种 C、150种 D、125种
2、（2020课标II）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
反思：这两个题是分组分配问题的实际应用，该环节的编排旨在让学生通过实际操练，体会分组分配问题在高考中的考题方向及难度，从而消除对高考的恐惧.
六、教学反思
整节课的教学设计都是围绕着分组和分配这一主题进行，课堂以3个相对比较简单的变式题型引入，让学生通过列举、列式等形式理解非平均分组、完全平均分组、部分平均分组的各种分组问题，整节课最有趣的地方之一是学生在完成前三个例题以后提出的一些其他形式的分组，让他们自己去设题编题，可以更深一步加深他们对于分组的理解，从而准确地处理去重问题；课程的后半节是探究分配问题，掌握定向分配与不定向分配的处理方法，让学生坚持“先分组，后分配”的原则，这样复杂的实际问题也可以简单化 ，学生对于后面的高考模拟和高考真题也能轻易地解决.
以上是我从教多次分组分配问题后总结出来的个人认为较为成功的一个课例，一节课下来学生反应良好，课堂气氛浓烈，而学生对这一主题的知识点基本也有了较为系统的掌握，轻而易举地将该难点问题简单化.
参考文献：
[1]普通高中课程标准实验教科书?数学?选修2-3?人民教育出版社.2019.
[2]高中新课标总复习 数学 广西师范大学出版社.2020.