刘循
西安铁道职业学校 710025
摘要：
转换是解决数学问题的重要思想和方法，而转换的实质就是在观念概念上换一种看法，从而将问题纳入到转换的概念中的理论来求解。本文通过几个例题说明概念转换在解题中的作用。
关键词：观念概念；概念转换；函数。
数学知识之间有着很强的联系性。在解题时，如能根据题目的特点，将某一概念中的问题转化为另一概念中的问题来解，往往可以使问题得到更简便的解答。下面通过例题说明概念转换在解题中的好处。
例1.设二次函数f（x）的最大值为14，且f(2)=f(-1)=5。求f（x）。
解：设f(x)=ax2+bx+c，因为f（x）的最大值为14，所以由最值概念可得ax2+bx+c≤14对一切实数x恒成立。
即ax2+bx+c-14≤0恒成立。由此得：a<0,b2-4a(c-14)=0----（1） 。
又由f(2)=f(-1)=5，联系方程的概念可知：2和-1是方程f(x)-5=0的两个根。ax2+bx+c-5=0的两个根。
于是由韦达定理得：2+(-1)=-b/a，2·(-1)=(c-5)/a。-----（2）。
由（1）、（2）解得：a=-4，b=4，c=13。所以f(x)=-4x2+4x+13。
说明：该题是从数量关系所反映的概念出发，将函数问题转化为方程和不等式的问题来求解的。象这种将一种概念范围内的问题转化为另一种概念范围内的问题来求解，往往可以使解题有更多的知识可利用，从而使问题得到更灵活的解决。另外在教学中，若能经常引导学生作这样的概念转化解题，就可以加深学生对概念的理解和培养学生灵活应用知识的能力。
例2．已知ln2c/a-4lna/b·lnb/c=0。求证 a,b,c成等比数列。
证明: 当a,b,c三数相等时，结论显然成立。当a,b,c三数互不相等时，给出以下两种证明方法。
证法一 观察已知并结合一元二次方程判别式的概念可知方程（lna/b）x2+(lnc/a)x+ lnb/c=0有两个相等的根。
注意:lna/b+lnc/a+ lnb/c=0，说明方程的两个根为1.于是由韦达定理得：(lnb/c)/（lna/b）=1。所以b/c=a/b，即a,b,c成等比数列。
证法二 观察已知并结合等比数列的概念可得2lna/b，lnc/a，2lnb/c成等比数列。
设公比为q,则有：
lnc/a=2qlna/b…（1）,2lnb/c=2q2lna/b…（2）。
（1）+（2）/2得：lnb/a=(2q+q2) lna/b。即2q+ q2=-1，即q=-1.
把q=-1代人（1）得lnc/a=-2lna/b。即c/a=(b/a)2。所以b2=ab。
即a,b,c成等比数列。
说明：该题是从同一个关系出发，由于观察联系的角度不同，把它和方程、等比数列的概念联系起来，从而利用方程和等比数列的知识进行求解。从这里也可以看出，在解题时，我们要注意分析，仔细观察和联想，充分发掘题目中所隐含的概念，以便于进行转换，用不同的知识来求解。
例4. 求2+22+23……+2100的和。
解：由二进制数的概念可知：和式表示二进数11……10，（100个1）。因为11……10+1+1-2=10……0-2=2101-2。
所以2+22+23……+2100 =2101-2。
例5.解方程
解： 将方程化为。由椭圆的概念可知：该方程可以表示以（±3，0）为焦点，5为长半轴且经过点（x，1）的椭圆。
由于椭圆的方程为x2/25+ y2/16=1。所以把点（x，1）代人椭圆的方程解得x=±5/4。
例6.已知m，n为正整数，且1＜m＜n。求证：（1+m）n＞(1+n)m。
分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m)?＞mln(1+n)，即证明成立即可。
证明：构造函数f(x)=，求导，得，所以f(x)在［2，+∞）上是减函数。由2≤m＜n知f(m)＞f(n)，即，nln(1+m)?＞mln(1+n)，
所以ln(1+m)n＞ln(1+n)n，即（1+m）n＞(1+n)m。
说明：解题需要分析、观察和联想。从转换概念的角度讲，就是要善于联想涉及题目本身以外的概念，以便于用更多的知识来求解。
综合以上可以看出，在解题时，若能根据题目的特点，注意观察、分析和联想，从多角度考虑问题，转换概念，就可以使一方面的问题转化为另一方面的问题来解，使性质较少的问题转化为性质较多的问题来求解。从而起到灵活运用，巧而解之。因此，树立从概念出发的解题思想是十分重要的。
参考文献
[1] G波利亚《怎样解题》.[2] 罗增儒《数学解题引论》.