武雅琴
山西省实验中学初中数学组 030001
在义务教育《数学课程标准》中，一共安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。其中“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
“综合与实践”是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课上完成，也可以与课内外相结合，提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。为此，北师大版数学教材，在全部六册书本教学目录中，最后一部分都设置了“综合与实践”课程。而山西省中考命题在2015年形成了内涵颇深的六个维度：活动建议、开放探究、阅读能力、国际PISA测试理念借鉴、学科素养和表达交流共享，其中“活动建议”也被列于首位。由此可见，“综合与实践”课程的重要性。
下面和大家分享我和学生学习概率知识时的一个片段。
在初三学习概率的过程中，学生提出了一个疑问：北师大版数学教材，九年级下册114页“综合与实践”：“哪种方式更合算”中，转转盘和直接获得购物券，你更愿意选择哪种方式呢？
题目是：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20各扇形）。并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。
如果每位顾客只有一次选择是否转转盘的机会，那么转转盘和直接获得购物券，你更愿意选择哪种方式？
有学生举手提出了自己的想法：顾客看到转盘和规则，其实只有两种选择：
①不转转盘，直接获得10元购物券。
②碰运气转动转盘，可能转到有颜色的扇形，拿到对应面值的购物券。也可能转到没有颜色的扇形，那么就没有购物券。
由于顾客只有一次机会，所以有的学生认为：不转转盘，直接拿10元购物券更稳妥，更合算。
听了学生的想法，当时我的内心也十分犹豫，试想如果是我去购物，遇到这种情况又会怎么做呢？也许我也会选择直接获得10元购物券的，感觉更稳妥。但事实上，这道题的标准答案是：当转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色、无色区域的概率分别为，那么顾客获得购物券的平均收益为：（元）。因为平均收益为14元，比10元大，所以转动转盘更合算。那么到底如何解释平均收益呢？合算在数学上究竟是什么含义呢？
带着好多疑问，我查阅各种资料，认真阅读，最终给了学生如下解释。商场转动转盘，从数学角度考虑合算，其实是平均收益的问题，而平均收益是一个数学期望值：即大量实验中收益的平均值。若平均值大于直接获得的10元购物券，则转转盘合算，若平均值小于直接获得的10元购物券，则直接拿10元购物券合算。对于顾客而言，虽然只转动转盘一次，但红色扇形被转到的概率稳定在，黄色扇形被转到的概率稳定在，绿色扇形被转到的概率稳定在，没有颜色的扇形被转到的概率稳定在，不同颜色的扇形被转到的概率的稳定程度是不一样。
当我们评价某个决策的优劣时，是用所获得平均收益，而不是某一次的收益来衡量的。因此研究合算，不能用转动一次转转盘，能否转到有颜色的扇形来衡量，而应该计算大量实验中收益的平均值，即平均收益来衡量。事实上，在随机现象中，任何决策都不能保证我们一定赢，这是随机现象本身决定的。如果有大量的人来选择，那么这个商场的转盘游戏的平均收益会高于10元，因此，选择转转盘的决策是有意义的。另外，当顾客转转盘时，实际收益只可能是100元、50元、20元、0元中的一种，不会出现14元，“14”这一数字只在决策中起作用。就这一点而言，数学来源于生活，又通过数学研究，最终应用于生活。当我给学生细致讲解后，学生露出了满意的笑容，并举手说以后去商场遇到转转盘时，要计算平均收益来判断是否参加商场的优惠活动了。
在新课程改革的顶层设计中，活动建议是课程标准的重要组成部分，并且是新课改最出彩的地方----连接教材理论与动手实践之间的桥梁。动手能力、合作探究、联系实际，乃至创新意识与能力的培养都在这里得到了训练。所以建议各位教师要认真学习“综合与实践”课程：认真备课，认真研究。要俯下身子，多和学生沟通，多鼓励学生提出问题，并帮助学生解决问题，这样才能共同理解数学，共同进步。