林文榜 广东省陆丰市 龙山中学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）3-056-01
一位高一老师在备课时遇到一道题，笔者觉得是道好题，有探讨意义，随手发到科组群给大家讨论，谈谈各自的解法。以下是例题及收集到的三种具有代表性的解法：
例题1、已知是所在平面上一点，若，且,则
解法一：利用“奔驰定理”：,
可得,
所以
此法甚妙，秒杀此题，但证明困难，好用不好讲。
解法二：将转移为三角形边上的向量，再用相似比得面积比。
因为代入原式得 ,化简得
,
如图，四边形AEOF是平行四边形，由相似比得，
即(同底不同高).
此法用平面向量基本定理进行条件的转移，用相似比得面积比，颇费一番周折。学生在刚学完向量线性运算的前提下，选用此法解题的可能性更大。
解法三：图形特殊化，建立平面直角坐标系。
取B为坐标原点(0,0)，点A(0,1),B(1,0),O(x,y)
则由
得(-x,1-y)+2(-x,-y)+4(1-x,-y)=0
化简得x= ,y=,
所以(同底不同高).即
此法需把图形特殊化，若遇上规定长度角度的问题，但图形无法特殊时，此法受限。
三种方法都是好方法，那么问题来了，哪种更好？我们在教学上应该使用哪种方法进行教学？以下是笔者的几点思考：
一、我们先从说题的角度来聊聊这道题。
1.谈谈这道题的知识背景，这道题考察的是新版《必修二》第一章向量的知识，主要考察平面向量运算的综合能力，难度中等。此题涉及的主要知识有向量线性运算，坐标表示，平面几何关系。
2.试题立意，考察向量的线性运算及三角形的几何关系。向量是几何运算的工具，本身承载着方程，转化与化归，数形结合的思想方法的考察任务，通过此题学习，使学生能够解一题会一片，真正形成解题能力，培养数学素养。
3.试题解法，这里讨论出来的有“奔驰定理”，利用线性运算转化以及坐标法。三种方法各有特色，对于某一类特定题型，“奔驰定理”速度占优，对于一类适合建系的比例问题，坐标法是个不错的选择，而利用向量线性运算进行未知与已知的转化则是通法。
4.试题拓展，解一道题，教学生会一片是我们的目标。变式导学是非常有效的手段，变式训练有形式上的变式也有解题方法上的变式，从面积比这个角度看，可以有以下变式：
（1）P是三角形ABC所在平面中一点，满足，则
（2）P是三角形ABC所在平面中一点，满足，则
从解题方法的角度进行变式：
（3）已知是的外接圆圆心，AB=2AC=2,,则x+y=________.
(4)已知是的重心，且,则=________.
变式（1）（2）用坐标法或者“奔驰定理”都可以解，变式(3)(4)显然用“奔驰定理”解答更快，无论哪种变式，解法二的转化法都适用。
数学教学强调探究，也强调一题多解，能够提高处理数学问题的能力，能够指引学生找到多题一解的简捷通法。
二、从教学实际及学情分析谈论这道题的解法。
这是在高一的教学中出现的一道题，高一的学生还是初学者，对于初学者来说，教学更加注重概念及通法，向量在新课标核心素养的体现是培养学生的直观想象能力及转化思想。此题的解题通法是数形结合，利用基本定理进行未知与已知的转化，从这个角度来看，解法二更合适，虽然运算量稍大一点，但对学生数形结合及转化思想的培养能起到很好的作用，转化思想的适用性也更广。例如在数量积的运算问题中出现的题型：
如图，平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=3，AD=2，E,F分别是BC,CD中点，则=______.
解：因为
所以
此题解法适用转化法，跟解法二方法统一，思想统一，数学教学强调一题多解，但更重视统一性，如果能够一法（解法或思维习惯）通杀一切，何乐不为(如果学生坚持用向量法解这道题，没关系，交换一下条件跟结论就好“已知AB=3，AD=2，=，求∠A”)。解法一跟解法三虽然速度要更快，但有一定的局限性，适用于特定类型题。证明也更困难，学生不容易理解。如果是对于有很好基础的学生适当补充解法一跟解法三相对合适。
三、从教法上谈论这道题。
1.低起点引入，层层推进。
在选用解法二的基础上，讲解此题时，引入尤为关键，高一的教学，宜深入浅出，低起点，多层次，层层推进。我会选用以下两道题作为引入：
（1）P是三角形ABC所在平面中一点，满足，则
（2）P是三角形ABC所在平面中一点，满足，则
解：（1）.由得
如图，四边形AEPF是平行四边形，
由相似比得，
即(同底不同高).
(2).解略.
2.巧设问题串，启发思维。
在设置好两道引入练习后，就回到例题本身的讲解了，笔者喜欢用问题串进行设问，可以抛出下列问题串：
（1）例题1跟引入（1）（2）有什么联系与区别？
（2）如何建立联系？
（3）在解完两道引入练习后能不能发现解题通法？如何运用通法？
在抛出问题串后，给学生充分的思考时间，只有在引导学生独立完成转化后才能形成能力。学生在思考讨论后得出此题的解题通法是数形结合，利用基本定理进行未知与已知的转化。
3.变式导学，巩固训练。
希望通过解题训练来有效的提高解题水平的一个重要实践是对题目进行变式，一题变多题，并且能够解答之。通过问题串的设置，引导学生思考，启发思维，建立知识点方法之间的联系。此时，再给出变式题组：
（1）P是三角形ABC所在平面中一点，满足，则
（2）已知是的外接圆圆心，AB=2AC=2,,则x+y=________.
变式导学还是比较适合数学教学的，（1）是形式上的变式，（2）是解法上的变式。变式题组的设置要注意难度梯度。
我们不仅要会解一道题，更要解一题会一片，那么能力及素养的培养就很重要。教学时向学生根据教学实际选择是否呈现多种解法，选择适合学生的教学方法，有利于学生的学习。在高一的教学中，应选择通法通性的教学，低起点，多层次，巧设问题串，展开变式导学，一步一步引导学生发现解法通性，独立发现规律和方法，才能形成能力，比较圆满的掌握这类问题。由此，学生的数学素养跟解题能力才能得到更好的提高。
参考文献：
[1]陈俊斌.一道高考数学试题引发的思考与探究[J].数学通讯，2017.(1):30-33
[2]陈俊斌.据于教师数学现场说题教研活动的思考与认识[A].中学教研(数学).1003-6407(2018)01-0026-05.