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导数的应用----导数与不等式

发表时间：2021/7/21 来源：《中小学教育》2021年8月3期作者：程乐新

[导读]

程乐新湖北省红安县理工中专
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）8-167-02

        【学情分析】
        高二学生在下学期学完《第一章导数及其应用》中《§1.3导数在研究函数中应用》后了解了求一般具体函数的单调性，极值和最值的求法后，具备了探究函数一般性态（性质与图像）的基本方法和步骤，但在处理与函数有关的不等式，方程或者是函数的综合复杂性问题时的能力还不够，本节课将从学生具备已有的学习知识的基础上安排一节专题课结合校本课程的研究开发和有效递进教学角度来安排和设计一节数学课。
        【教材分析】
        结合人教版教材《选修2-2 数学》编排，课本在第一章第三节导数在研究函数中应用的知识及实例教学中，分别对利用导数的方法对函数的单调性，极值和最值作了直观的探究，主要是通过直观观察的方法来探究得出相关结论，同时在课本习题中的B组习题中出现了利用函数的单调性证明不等式和利用图形的直观性进行验证的题，再者在课本的阅读材料里面对利用信息借助图形技术和函数的性质方面作了布置。这同时体现了新课标下对学生的核心素养的关注，既满足一般知识的传授，又满足高中层次的学生对运用数学知识来解决更复杂的函数的好奇心。
        【设计思路】
        本节课一方面是承接教材的内容深化的一节课，同时又是为下一节专题含参数的不等式或方程研究的预备课。
        【教学准备】
        信息技术电教设备，几何画板等应用软件
        【教学课时】
        1课时
        【教授课型】专题课（新授课）
        【教学目标】
        ◇知识与技术目标：①通过本节课的教学进一步熟悉和掌握导数在研究函数中的应用方法、步骤和注意的细节；
        ②通过本节课的教学使学生掌握一元不等式的类型以及处理方法和技巧。
        ◇情感与价值目标：通过对函数导数的深化教学进一步激发学生学习数学的热情和利用数学解决复杂问题的欲望与冲动，培养学生进一步探索问题的科学精神。

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        【教学重难点】
        教学的重点是解决一般不等式的常规思路方法，难点是如何转化和构造新型函数，再利用函数的性态来解决不等式的问题
        【教学过程】
        教学环节师生互动内容备注
        一、复习回顾师问：
        在前面几节课学习导数的过程中我们是怎样来研究函数的性态（单调性、极值、最值和图像）的？
        生答：
        借助函数的导数可以研究函数的性态，探究的一般步骤是：第一步，确定函数的定义域（有间断点的要指出间断点）；第二步，求函数导数,令=0,确定定义域内的驻点；第三步，由间断点，驻点，区间端点划分区间，列出表格;
        第四步，对函数作出趋向性分析（主要在间断点处，处）承上启下，温故知新，巩固所学知识，特别是函数性态研究中的趋向性分析在中学阶段的初步把握
        二、探究新知师问：
        函数的最值思想是什么？
        比如，呢？
        比如，呢？
        生答：
        函数的最值思想就是根据函数在定义域所给区间上等式或不等式任意恒成立或存在成立的问题，虽然函数值是随着自变量不断变化的量，但是可以根据根据函数的值域或最值来处理相关问题。
        ；
        ；
        ；
        。
        师问：
        对于下列两个不等式类型： ①根据《必修一》所学知识，提醒学生函数最值思想在不等式中的应用
（i）；
        （ii）。
        我们该如何来进行处理？
        生答：
        （i）；
        方法一、构造函数
        再证明函数；
        方法二、。
        （ii）。
        方法：构造函数
        再证明函数。
        师问：
        你能说出第一种类型中两种证明方法的不同吗？通常我们怎么选择这些方法比较好呢？
        师生共同释疑：
        第一种类型和第二种类型中的方法为一种通法，这样通过构造函数h(x)后，f(x)与g(x)的x可以同时变化，反应在它们的图像上对于每一个x，y=f(x)的图像都位于y=g(x)的图像上方，如图1；而第二种方法中，其要求比较高，及无论x怎么变化，y=f(x)的函数值中的最小值都大于或等于y=g(x)的最大值，反应在图像上y=f(x)始终在某条水平线的上方，而y=g(x)始终在某条水平线的下方，如图2。
②函数、方程与不等式不仅仅在数量关系上又表示，同时可以借助图象在形上有其直接表示
        三、课堂小结今天我们主要学习了一元变量不等式类型：
        （i）；
        （ii）。
        的证明的基本方法和基本思路，特别是通过我们的具体实例熟悉和了解了如何选择对应的策略和方法来处理有关不等式的问题，还拓展了有关二元参量不等式的证明方法和思路。
        问题的实质是我们如何来构造相关函数，结合导数的应用，求出函数的最值来加以处理，从而获得不等式的证明。
        【教学反思与评价】
        本节课通过在导数的应用新课程学习的基础上及时针对性的补充了一节关于导数与不等式的证明的一节专题课。
        首先，本节课的实质是利用函数导数作为工具，深化导数在求函数最值的作用，应用于不等式的证明，关键在数学的转化化归思想在不等式的证明中应用，从而突出了问题研究的思路；
        本节课的第二个亮点在于结合学生当前的学习的实际，在选题题例的教学过程中，层层递进，由浅入深，从而实施了有效教学；
        本节课的第三个特点就是根据现行教学大纲和考试大纲要求，把本节课作为专题实施教学，顺应了高中生学习的要求，既能学到必要的数学知识，又适合高校选拔人才的需要，它顺应了学生思维的发展要求；
        本节课的第四个特点就是在教学过程中恰当地结合信息技术，把抽象的复杂函数的图像通过电脑直观地表现，突出了数学教学中的核心素养和适应现时数学教学技术的运用要求；
        本节课的第五个特点内容多处运用了多角度，多维度审视问题，突出了数学思维的灵活性，当然也使得课堂容量有点大。