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推动区域内“思维可见”的初中数学教学改良——以区域内的《尺规作图》的教学改良为例

发表时间：2021/7/23 来源：《中国教师》2021年8月作者：余献虎

[导读] 课堂教学碎片化的典型特征是隔断、片段化、跟我学，思维可见的教学就是破除这些特征，让学生看到数学思维由低到高的发生、发展过程，悟道教学知识间的结构、关联、系统和逻辑，并内化为一种自觉地教学行为，在实现个人教学改良的基础上，驱动校园内老师整体教学行为的变优，实现区域联动的思维可见的教学改良，永葆“为思维而教”的初心和决心。

余献虎浙江省衢州市柯城区教学研究室
【摘要】课堂教学碎片化的典型特征是隔断、片段化、跟我学，思维可见的教学就是破除这些特征，让学生看到数学思维由低到高的发生、发展过程，悟道教学知识间的结构、关联、系统和逻辑，并内化为一种自觉地教学行为，在实现个人教学改良的基础上，驱动校园内老师整体教学行为的变优，实现区域联动的思维可见的教学改良，永葆“为思维而教”的初心和决心。
【关键词】区域联动思维可见案例分享教学改良
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）8-210-03

        1背景目标
        课堂教学知识碎片化，是比较普遍的一种现象，具体表现为“片段化、跟我学”。观察浙教版义教育教科书八上《1.6尺规作图》[1]，它的教学就被割裂为4个片段：揭示课题、跟我画一个角（等于已知角）、跟我画线段垂直平分线、跟我画三角形（已知两个角和它们的夹边）、总结。这样的教学，主体缺乏思考，少有争辩，没有知识结构性、关联性、系统性和逻辑性分析，少了“为思维而教”的教学行动。
        2思想形成
        有一段时间，接合区域内的学校蹲点调研项目，在部分学校尝试了“1→（A+B）”教学观察模式（青年教师成长指导计划），其中“1”指的是导师，“→”后是听、评、改、复课活动的2位对象，“A+B”表示“1”与对象A先听B的课，并就B的课与A进行现场的交流，再与对象B听A的课，并结合B自身教学和A的教学行动进行现场交流，如例1（画一个角等于已知角），与A交流时，主要谈“需不需要让学生再发现已经发现的这个尺规作图的方法”，与B交流时，主要谈“如何教才能让学生再发现这个已经发现的作图方法”。
        这个过程的第一环节是希冀青年教师关心起“教学中需要什么、从教学预备开始需要思考什么、在教学过程中需要关注什么、在教学后再反思什么”，第二环节是希望青年教师落实起“如何实现教学第一步的成功（直至第n步的成功）、如何处理一堂课中的教学知识之间的知识结构（系统性）和逻辑结构（关联性）、如何设计问题或活动确保数学教学有层次递进” [2]。
        执行计划的初心是让青年教师想到教的发生的条件，看到教的课堂结构和知识结构，在认真思考“教学有层次递进”这个问题后，认识到数学教学从浅入深的过程就是学生数学思维由低到高的过程，这个过程还能描绘出学生思维发生、发展的上升痕迹。
        当我们把这个思维发生、发展的上升痕迹描述为“思维可见”时，也把具有这种特征的初中数学教学称之为“思维可见的初中数学教学”。
        3区域联动
        “思维可见”的教学，是以思维能力培养为导向，以知识结构性和逻辑性为向导，从思考知识的“来”开始，探所知识“去”的脉络，它需要理解课堂教学知识间的联系，识读教学知识所处的知识体系，顺应知识间的逻辑秩序，呈现知识模块间的结构关联。
        综合“1→（A+B）”教学观察模式（青年教师成长指导计划）的初期实践经验，可以得到如图1所示的“思维可见”的初中数学教学研究结构图：
        结构图中，“自主备教”环节主要思考：
        （1）尺规作图安排在《全等三角形》最后课时的依据分析；
        （2）学生运用直尺和圆规作图的经历，及这些经历为学生学习尺规作图带来的思维上的帮助分析；
        （3）三个例题之间的知识序和逻辑序分析；
        （4）尺规作图培养学生的能力分析。
        通过对这些问题的思考，确保教学中呈现出数学思维发生、发展的痕迹，促成“思维可见“的教学。
        多人次的实践表明，能帮助老师实现自我教学改良的关键是教学再观察后的实践成果内化，通过要求老师撰写研讨过程和自我认识，强化了老师对教学实践成果的理解和应用，特别是深入思考能消除了实践行动前的困惑，树立起变革的信心，坚定变革的决心，直至认同实践成果时，老师们就会开始自觉地思考自主备教的问题、知识与逻辑问题、有助于思维可见的问题。
        上述结论，催生了把学校层面的教学实践延展到区域层面，即通过搭建区域内的交流平台，把“思维可见”的初中数学教学思想辐射开去，带动更多的老师一起实践“为思维而教”的思想，这个传递关系可用图2示意：
        图2旨在说明个体的成功将驱动学校的教学变革，学校的成功将带动区域的教学变革，区域的成功将联动更多的老师投入到“思维可见”的初中数学教学变革中来。
        图2
        4“思维可见”的教学变革案例分享
        “思维可见”的数学教学，旨在让学生在发现那些在科学上早已被发现的规律时，像第一次发现者那样去推理[3]，而不是简单地照做跟我画（学），要从能引起学生学习意向的知识开始，体现数学知识的结构和数学思维的逻辑[4]。

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        该案例从2020年9月份至今，经历的过程有随堂听课、1+（A+B）教学观察、归因分析、案例修正、改进实验、教学改良、“思维可见”的教学观提炼、区域内的教学报告（报告主题《现实、事实、落实区初中数学教学需要改进的三个层面》）和教学推广，在“1+（A+B）教学观察（青年教师成长计划）”带动下，区域内的教学报告观点得到老师们的认可，本学期推出了以“螺旋提升，思维可见”为主题的的系列研讨活动，较好地推动了区域内“思维可见”的初中数学教学改良。现分享案例成果：
        探析一作一个角等于已知角的思维逻辑
        用尺规作图作一个角的角平分线的落脚点是全等三角形的性质（见《1.5全等三角形①》），用尺规作图作一个角等于已知角的教学落脚点是画一个角的角平分线，体现了如3所示的逻辑序：
        图Ⅲ是产生教学认知冲突的关键，这次的认知冲突要启发生成新发现，即△FAG≌△EAG，进而归纳出画一个角等于已知角的基本路径是构建SSS，实现学生学习认知的提升、思维的可见。
        探析二作一条线段垂直平分线的思维化归
        垂直平分线的特征元素是：①垂直，即交角等于90°；②平分，即交点是中点。分享实践中两个不同层次班级生成的化归思想。
        方法一深度探究
        学生合作学习中讨论的第一各问题是有没有存在垂直平分线的图形（借鉴例1的研究思路），并在“两次尺规作图的落脚点都在全等三角形上”这一提议出现时，开始深入探究图3(Ⅰ)中“是否还能找出新的全等三角形”，这时连结EF成了新尝试。
        设EF交射线AD于点O，则可证△FAO≌△EAO（或△FDO≌△EDO），并证得AD是EF的垂直平分线，从中归纳出作线段的垂直平分线的基本思路和步骤。如图4是这个研讨过程示意图：
        方法二特殊化
        学生开始面对问题时，联想不到思维的支点和研究的着手点，直到有一组学生提出“如果已知线段的中点，就能用尺规作图作该线段的垂直平分线”的观点。研讨过程如下：
        师：你们小组为什么会想到假设中点？
        生：线段中点是唯一的，与线段垂直的直线不唯一。
        生：假设线段AB的中点是O，则OA=OB，直线l⊥AB于点O，有两各直角相等，则有全等三角形，图5(Ⅰ)所示。
        师：你们发现并归纳出画线段AB的垂直平分线的方法了吗？
        生：我们知道两点决定一条直线，作出AB垂直平分线的关键是再找出到A，B距离相等的另一个点，加上OA=OB，就可用SSS证明阴影部分的两个三角形全等，从而得到直线l与AB垂直，由此我们归纳出如下步骤：（1）以A，B为圆心，同样长为半径画弧（准确地须大于AB）；（2）记两弧交点是C；（3）作直线OC，那么直线OC就是AB的垂直平分线l。
        师：其他同学认同这个作法吗？
        （同学交流、评价并认同后）
        师：能作未知中点的AB的垂直平分线吗？
        学生先阐述了“把图Ⅱ中的过点C弧延长下来，交于一点D，如图Ⅲ，连结CD，直线CD就是AB的垂直平分线”的观点，还阐述了“先以A，B为圆心，同样长为半径画弧，在AB的上方交于点C；再以A，B为圆心，不同长为半径画弧，在AB下方交于点D，连结CD，直线CD就是AB的垂直平分线”作法，最后比较两种作法，认为图Ⅲ的作法更简约，实现方法的优化。这个暴露思维的过程由图5可见：
        探析三已知三角形的两角与夹边作三角形思维结构
        用尺规作图作适合条件的三角形，是对条件下三角形的唯一性的验证，是判定全等三角形的基本事实的几何解释，是在“画”的感性的认知基础上向“作”的理性思考的升华，依据是“叠合公理”。围绕着“全等”这一核心，为了让学生的思维过程表现充分，例3可以采用“先破后立”的教学原则。
        “破”的价值是让学生看到知识发生的原点，“立”的关键在于让学生见到方法的形成和依据的获得，即“摆事实、讲道理”[5]。这个演绎过程可用图6解释：
        这一思维可见的过程同时也是“四能”的演化过程。
        5实践反思
        数学教学是思维的教学，要实现有思维的教学，就得让学生看到、悟到、看懂、悟懂作用于思维发生的源头和思维发生的前果后因，即已获得的成果为新问题解决带来了什么方向，已发现的方向能诱导出哪些新成果。现在，该项教学实验还参与了省际交流（教学展示及主题报告《基于“思维可见”的初中数学教学》），获得了与会老师和专家的认可和关注。
        回想起第一次研讨后的老师们对教学变革的困惑，到现在老师们已不那么拒绝，可以看出只要永葆“为思维而教”的初心和决心，变革一定会更加深入人心。
参考文献：
[1]范良火，岑申，张宝珍等.义务教育教科书•数学•八年级上册[M].杭州：浙江教育出版社，2013.
[2]斐光亚.从来自教师的“呼救”说起[J].中学数学教学参考，2016.05.
[3]A.A.斯托利亚尔(苏).数学教育学[M].丁尔陞，等译.北京：人们教育出版社，1985.
[4]叶立军，斯海霞.数学课程与教学论[M].杭州：浙江大学出版社，2019.
[5]余献虎.以“作”为进的全等三角形内容重组后的初始课教学初探[J].数学教学研究，2014.01.