樊建勋，王伟华，许斌
（航空工业西安飞机工业（集团）有限责任公司，陕西 西安 710089）
摘要：在飞机装配领域，部件调姿对接（如翼身对接、机翼对接等）是核心过程之一，该过程稍有不慎会造成重大损失。在调姿对接过程中需要对部件进行位姿变换，传统的对接工装是采用手动目视或根据欧拉角的方法进行调整。针对调姿过程建立了数学模型，分析了物体的位姿表达和计算。提出一种基于旋量理论的装配位姿变换方法，通过正、反解和旋量插补实现两个部件装配对接，与传统方法相比，无需处理饶三轴的旋转，只需要对单变量插值就可以实现轨迹插补，能以统一的方式处理各种操作变换，且具有简洁的表达形式和清晰的物理意义，简化了调姿系统开发和部署成本。此外，提出三种典型操作模式，覆盖了装配过程中的工艺需求。通过与控制系统和三维环境的联合仿真，表明其结果的正确性及便捷的工程应用能力。
关键字：装配仿真；位姿变换；旋量理论
中图分类号：V262.4+2 文献标识码：A
1概述
在飞机部件对接中，一般的装配过程可以简化为图1所示模型。在装配时，将一个组件固定，利用底部的支撑装置对另一个组件进行位姿变换，到达合适的装配状态后停止变换，然后利用插销等方法将这两个组件固定为一体，该过程称为部件的调姿对接。
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图1 对接装配示意图
一般支撑变换部件移动的设备称为三坐标定位器[[[] 郭志敏,蒋君侠,柯映林.一种精密三坐标POGO柱设计与精度研究[J].浙江大学学报(工学版),2009,43(09):1649-1654.]]（以下简称为定位器）。定位器顶部以球铰的形式与变换部件相连，任意一个球铰中心（本文称为定位点）能在空间进行三自由度的平移运动。变换部件在定位器支撑下进行位姿变换，实现在空间的六自由度运动。在变换过程中，任意两个定位器的支撑点之间是受刚性约束的，其距离不能变化，即四个定位点形成了一个刚体。
国内外对飞机部件调姿已有一定研究，王志浩[[[] 王志浩,陈文亮,王慧,潘国威,王珉.飞机自动钻铆并联调姿托架标定方法[J].计算机集成制造系统,2018,24(12):2964-2974.]]基于运动学机构实现了托架调姿标定；文科[[[] 文科,杜福洲.大尺度产品数字化智能对接关键技术研究[J].计算机集成制造系统,2016,22(03):686-694.]]分析了调姿过程的对接应用模式，设计了柔顺对接的组合试验装置；远蔡飞鹏[[[] 蔡飞鹏. 飞机部件调姿机构运动学与动力学分析[D].大连交通大学,2019.]]对调姿过程的运动学和动力学问题进行了分析；王思之[[[] 王思知,刘伦乾,朱春伟,孙照宇,杨忠安.机身装配中自动定位器调姿算法研究[J].机电工程技术,2019,48(07):63-67.]]基于三自由度运动实现了调姿过程；刘民才[[[] 刘民才,刘伦乾,孙照宇,宋丽静.飞机大部段数字化调姿对接系统设计[J].现代机械,2019(05):42-45.]]实现了调姿系统的电气控制系统；朱永国研究了基于多项式的轨迹规划[[[] 朱永国,黄翔,宋利康,杨国为.基于理想驱动力的中机身调姿多项式轨迹规划[J].计算机集成制造系统,2015,21(07):1790-1796.]]。可以看出，目前相关研究的运动控制部分所采用的理论不够系统化。在针对目标位置的表达方式上，没有明确的计算方法；对于调姿和对接过程，直接从欧拉角进行分析，计算过程繁琐，没有统一的计算方法；在插补计算方面，没有明确插补对象；在工程应用方面，没有提出工业控制系统的实现方式和切合实际工艺需求的操作模式。
本文从位姿表达和计算开始，论述了调姿过程的运动学过程，剥离了复杂的工艺流程，对调姿问题的本质进行了分析；基于旋量理论，建立了调姿过程的数学模型，采用统一的数学方法处理各种位姿变换；在统一模型的基础上，抽取了适用于实际工艺流程的三种操作模式，并基于CATIA软件进行了仿真，验证了控制方法和点位插补正确性，实现了满足工业控制要求的完整调姿系统。
2位姿计算及转换
在飞机部件进行调姿前，需要用激光跟踪仪[[[] 刘娇月,杨聚庆,董登峰,周维虎.激光跟踪仪的光电瞄准与定位系统[J].光学精密工程,2015,23(06):1558-1564.]]确定产品变换部件和固定部件位姿。变换部件的位置是起始位姿，固定部件的位置可以转换为目标位姿。
2.1点位测量
在产品上分布有测量点，利用激光跟踪仪可以测出这些点在激光跟踪仪坐标系下的坐标，这些点在三维数模中也有对应的理论坐标。激光跟踪仪坐标系是全局坐标系，三维数模中的理论坐标系（产品部件的坐标系）是随体坐标系（图 2）。
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图 2 点在不同坐标系下的表达
刚体的随体坐标系相对于全局坐标系的位姿矩阵具有如下形式[[[] Niku S B, 孙富春. 机器人学导论——分析, 系统及应用[J]. Introduction to Robotics Analysis Systems, Applications. 电子工业出版社, 2004.]]：
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为坐标系的
三个正交轴在参考系中的矢量表示，
为的原点在参考系中坐标。的左上角3×3矩阵表示角度变换，最后一列代表平移变换。
假设从产品数模上可知个点的理论坐标
，其对应的激光跟踪仪下的全局坐标为
，为求出产品在实际全局坐标系下的位姿矩阵，就是求取：
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其中，是使用齐次坐标表示的。可使用ICP算法[[[] 魏效玲,孟艺,孙秀军.损伤零件点云模型配准的ICP算法[J].制造技术与机床,2020(05):118-121.]]求取以上，本文不再赘述。
2.2调姿过程的位姿变换
在部件调姿时，我们要获取变换部件当前位姿和目标位姿。调姿过程就是通过移动定位器对变换部件施加刚体变换（变换矩阵为），使得变换部件的位姿由变为，即
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对刚体进行以上位姿变换，等同于对定位器支撑点做同样的变换。当对定位器同时施加该变换时，定位器之间是不会发生相对位移的，这是因为在刚体变换下，距离是几何不变量。定位器支撑点和产品上对应的点是重合的，在调姿过程中，只需要关注定位器的位置，而不必测量具体的产品，就可以完成调姿对接。但实际中，因为需要对产品上的点有定位要求，以产品为调姿对象更容易对相关数据进行处理。
2.3飞机部件调姿的工艺过程
由于飞机部件对接的典型机械结构为双耳结构，所以调姿过程一般分为两步：调姿和对接。调姿是调整变换部件的位置和姿态，使装配部件位置接近，姿态对齐，双耳部分可平行插入；对接是将二者沿双耳结构支撑面平移插入，并令插孔对齐。从算法实现上来说，对接是调姿的一种特殊情况。完整的飞机部件调姿过程还包括部件吊挂、球头入位、位姿评估等，这些工艺步骤只是简单的几何位置调整和计算，本文不做深入介绍。
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图 3 工艺过程
3基于旋量理论的调姿算法
通过以上分析可知，调姿过程的本质就是通过底部三坐标定位器的联动位移，实现产品位姿的变换。传统调资方法通过欧拉角处理这种运动，需要分别处理饶三轴运动，然后再平移。旋量理论[[[] 谭月胜,孙汉旭,贾庆轩,张秋豪,陈佶. 旋量理论在机械臂末端执行器运动精度分析中的应用研究[J]. 机械科学与技术,2006(05):534-538.]]可以通过统一的方法处理所有变换过程，且在进行插补时，只需要对一个参数进行平滑处理。本章首先对旋量理论的本质运动过程进行了描述，提出了运动量与旋量的对应关系和构造方式，然后分析了插补方法。
3.1旋转和平移
假设物体绕给定轴（方向矢量为，且）转过一定角度，这可以用旋转矩阵描述，即Rodriguez公式[[[] 理查德, 摩雷, 李泽湘, 等. 机器人操作的数学导论[J]. 1998.]]：
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为一个旋转矩阵，表示了刚体沿任意轴的旋转运动。
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图 4 旋量运动的几何表示
以上方法描述了刚体饶任意方向的旋转，但实际的刚体运动会附带平移。如图 4所示，刚体上任意一点，刚体绕转过角后又沿着该轴移动距离（经过点），则点的最终位置：
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通过以上运动，刚体经历了一个绕轴的平移和旋转，这是一个螺旋运动，也称旋量运动。根据Chasles定理[[[] 石宏,郭建烨,蔡光起.基于位移螺旋与Chasles定理的机器人轨迹规划研究[J].机械与电子,2004(10):40-43.]]，任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行于该轴的移动实现。所以可以将任意的刚体变换映射为一个旋量运动。
在机器人领域，旋量运动的研究非常广泛。它实现了对旋转和平移关节的运动描述。实际上，定位器就是一个三平移运动机构，当使用多个定位器时，就构成了N-PPP并联机构（N为定位器个数）。用旋量运动表示这种变换，是因为旋量运动易于插补，方便调姿对接算法在控制系统的实现，且能以统一的模式处理各种形式的运动。
3.2旋量构造
由以上知，要构造一个旋量运动，需要的参数有：旋转轴方向矢量、轴上一点、旋转角（此处假设
）。若再令
则称为运动旋量：
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该式与（3-5）本质是相同的，只不过将将平移和旋转通过建立了线性关系。当为纯转动时，。
所以，任意一个旋量运动都可以通过、、和四个参数构造。其中和决定了旋转轴，为旋转角度，决定了沿轴的平移量。通过这四个参数构就可以构造位姿矩阵。这种通过已知的旋转（包括旋转轴和角度）和平移运动（平移距离）参数求解位姿矩阵的方法称为正运动。但实际中，还需要通过位姿矩阵求解旋转和平移参数（即旋量参数）。
3.3由位姿变换求解旋量
任一调姿对接过程的位姿变换矩阵为
，令：
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3.4纯平移运动
本文在构造旋量时假设了
。在正向求解时，
表示刚体变换为纯平移运动，设为移动量，此时有：
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(3 8)
在逆向求解时，由于在平移时，，此时无法通过（3-1）得到，无旋转运动，也无意义。所以，当时，令，为平移向量。
所以，在正向求解和逆向求解中，可用是否为零来区分螺旋和纯平移运动，当为纯移动时，利用为平移向量。这样，对于任意一个刚体变换，都可以构造一个旋量，任意一个旋量（或位姿变换）可以通过、、四个参数确定。反之，任意一组、、都确定了一个刚体变换。
3.5旋量插补
在定位器运动时，我们需要得到其运动轨迹，并按时间将轨迹离散化，即得到定位器在每一插值时刻的具体位置。该过程主要分为两步：一是反解，即根据始末位姿求取旋量的四个参数
；二是正解，对由小到大进行插补，构造一系列中间旋量，再由旋量求解各个定位器的轨迹
。
将作为驱动参数，各个定位点的位置随同步变化，即刚体位姿随着变化：
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以上求得了任意时刻定位器的变换矩阵，设任意一个定位点初始坐标为，则在时刻，定位器应运动到坐标：
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一系列的就构成个了定位器的轨迹，各个定位器的三个坐标轴以规划的坐标同时运动就完成了调姿动作，该过程实际上是一个数控插补过程[[[] 陶建明,宋爱平,易旦萍. 基于插值样条的数控运动轨迹描述及平滑处理[J]. 组合机床与自动化加工技术,2014(01):49-52+56.]]。
在实际控制时，设置合适的时间步长，每隔时间，给定位器发送一次位置指令，越小，运行变形越小。如图 5所示，正方形物体沿着圆弧逆时针旋转，A和B为物体上的两点，理论上它们分别沿着圆弧运动至A’和B’，但实际上A和B的运动轨迹是连接A A’和B B’的直线段。所以，定位器的实际位移时连续的直线段。在数控系统中，可直接由直线插补。
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图 5 运动插值
3.6加减速控制
以上计算的轨迹满足了刚体运动约束条件（各个定位器距离不变），但还需要满足动力学特性。插补的轨迹坐标如果是均匀的，在启动和停止阶段就相当于从零突变到了一个较大值，速度突变，造成振动，所以调姿过程应该进行加减速控制。
调姿过程的驱动变量只有，调姿插补的一些列最终映射为各个定位器坐标。所以可以利用进行加减速控制。的随时间的一阶导数反映了速度，二阶导数反映了加速度，合理的曲线就可以控制系统速度和加速度。常见的加减速曲线有S型曲线，将其应用于，有：
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其中，和分别表示的最大最小值，表示曲线的拉伸变化，为计算序列长度的一半。根据实际情况，当调姿系统用数控系统实现时，其本身自带的螺旋插补指令已经具备加减速控制功能，系统设计会得到简化。
4轨迹规划
4.1三种运动模式
根据实际工程经验，调姿一般可分为三种运动模式。
第一种运动模式为直接旋转或平移。即希望定位器绕着某个指定的轴线进行平移或旋转指定的值。在这种情况下没有目标位姿，无需反解，直接指定、、。这种模式下，定位器运动方式非常直观，一般用于对定位器运动状态比较了解，希望对定位器进行手动调节的情况
第二种运动模式称为定点旋转。实际中，因为定位器各个轴有物理限位，有时需要指定旋转中心才能避免轴超限位，即在对旋量插补时，需要令，其余参数不变，此时旋转轴必定经过，但最终位置会与目标位置不同（但姿态相同）。经过这种运动后，还需要一个平移才能完全达到目标位姿。
最后一种运动模式称为自动旋量调姿。即上一节介绍的插补模式，直接对插补，、按照始末位姿计算的值给定，刚体经过这种运动能够实现位姿的完整变换。
4.2中间坐标系
当螺旋运动的旋转轴距离物体几何中心较远时，物体位置偏离原始位置的距离较大，可能超出了定位器的行程。为解决这一问题，可以在待变换物体的几何中心位置设置临时坐标系，临时坐标系的姿态与最终装配姿态相同。即先让物体变换到该位姿，将其姿态调整到合适角度，然后进行平移运动。（图 6）。即先让物体进行模式2的运动，再进行模式3的运动。在运动过程中需要避免产品之间的碰撞干涉，这也需要设置中间位姿，避开干涉路径。所以，调姿过程需要进行轨迹规划，即设置一系列中间位姿，避免干涉、超限位等。
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图 7 姿态对位
由于加工误差、定位器误差、传感器误差等，调姿结束后，物体位姿可能仍然无法满足要求。如图 7所示，四个圆点为调姿结束后四个测量点的位置，而虚线圆为定位要求位置（含公差），此时要将四个圆点放到四个圆内（圆心为），且其相对位置不能再发生变化。以下仅考虑平面情况。假设四个圆的圆心分别为，=1，.. ，4，由于物体在平面上只有三个自由度，取左下
角坐标为，底边与轴夹角为，则四个测量点坐标可以表达为
，则各个测量点至理论位置的偏差为:
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求解出的即为所需的位姿，三维情况下可用欧拉角表示物体姿态。
5仿真实验
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图 8 仿真流程
通过以上分析可知，调姿过程的核心就是基于矩阵的位姿变换，在变换过程中，利用旋量插插补和加减速控制计算得到定位器轨迹坐标。为实现装配过程仿真[[[] 邹冀华,刘志存,范玉青.大型飞机部件数字化对接装配技术研究[J].计算机集成制造系统,2007(07):1367-1373.]]，并验证算法的正确性，笔者在CATIA里利用达索提供的Automation接口[[[] 杨德华,税清才,周喜军.基于CATIA软件对VBA的支持进行飞机翼面的造型设计[J].航空计算技术,2002(01):59-62.]]进行二次开发，对以上变换过程进行了仿真，程序基本流程如图 8所示。以下详细说明各个步骤。
1）位姿计算
在CATIA里可以利用两个刚体分别代表物体的起始位姿和末态位姿。起始位姿代表产品当前位姿（利用激光跟踪仪通过产品上布置的靶标点测得），末态位姿就是最终的装配位姿（根据所对接的产品测量、计算）。在CATIA二次开发中，可以利用Position.GetComponents方法获取并设置其位姿矩阵，将数模中的位姿与现实中的位姿对齐。
2）路径规划
路径规划就是设置中间过渡位姿，防止发生碰撞干涉，或达到某种特定的工艺效果。在三维模型中，可以插入一系列刚体，形成一系列位姿，调姿时让刚体按照这一系列位姿变换。每一个变换过程的计算法方法是一致的。
3）旋量正解
在以上变换过程中，任意一个变换阶段都有一个确定的始末位姿。利用两个位姿矩阵求取旋量参数（、、、）。
5）加减速控制
在四个旋量参数中，令随时间由变换为，就实现了以上的变换过程。函数确定了系统的速度和加速度。
6）轨迹点计算（旋量反解）
针对任意的旋量参数（、、、），可以确定一个位姿变换，由此变可以计算定位器的位置（定位器与刚体经历了相同的变换），该位置与时间的函数就是定位器的轨迹点。
7）轨迹下发
将计算得到的轨迹输入控制系统，利用控制系统的连续点位运动功能实现定位器驱动。这和数控系统的G代码一致，利用一系列点位实现定位。
8）实施变换
利用Product.Move对象将变换矩阵施加到各个定位器，可以实现各个定位器随时间变化的运动。更新各个定位器的位置，利用Product.Contraints更新约束，将定位器的位置反应到变换部件上。
通过CAITA的仿真，可以直观的看到整个变换过程。在初始状态下，定位器的定位点与产品的支撑点做相合约束，当定位器的位置发生变化后，定位器会将产品“拉”到满足约束的位置，这相当于在电机带动下产品发生了位移，若各个定位器不是同步或相互之间有相对位移，在更新产品约束时CATIA变会报错，以此可以验证程序的正确性。
针对某一具体变换过程，其参数如表 5 1所示。
表 5 1 调姿试验参数
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在经过调姿以后，各个定位器的运动点位如表 5 2所示。可见，各个定位器依然满足刚性约束。
表 5 2 定位器轨迹点
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在实际使用中，需要对以上过程进行简化。基于本文方法设计的软件界面如图 9所示。通过对CAITA环境内的调姿模型进行调用，在“轴”的输入文本框里双击可进入CATIA环境，选择一条直线后返回主界面，该直线表示旋量的、，下面的“沿轴平移”和“沿轴旋转”表示绕着这根轴的运动。再下面的“定点旋转”和“自动旋量调姿”分别对应第二和第三种运动模式。可见，基于本文所述方法，可以非常简便的实现各种方式的运动，且具有归一化的数学模型，操作与实现过程非常简便。
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图 9 调姿仿真软件
6总结
本文利用旋量理论，对装配对接中物体位姿变换过程和变换方法进行了研究，结果表明旋量运动可以简洁的处理调姿对接中物体位姿变换问题。通过设置对螺旋运动角度插值，可以巧妙解决各个定位器间的同步运动问题。通过状态插值，可以解决位姿变换过程中定位器行程超限、运动干涉问题。从理论上较为完善的解决了整个飞机装配中部件调姿对接问题。与传统调姿系统相比，本文所述方法的创新性在于1）采用统一的数学模型处理平移、旋转，且采用饶一轴旋转到位的方式，而非传统的饶三轴旋转，2）基于ICP算法计算末态位姿矩阵，可针对任意多的点计算位姿矩阵，无需对点进行取舍，3）提出了三种典型操作模式，覆盖了实际工艺需求，简化了操作流程。
值得注意的是，本文所处理的是开环运动问题，利用初始位姿和最终装配位姿求得整个运动过程。这种方法对高精度装配问题并不适用，由于定位器、测量器件的误差甚至刚体的微小变形，导致最终运动状态与预期值也有误差。这可以利用实时反馈进行修正，例如利用相机或激光跟踪仪实时对定位点测量，得到位姿误差进行反馈。
参考文献：