天津工业大学数学科学学院数学与应用数学1801班 天津 300387
摘要：本文以“沙漠掘金”游戏为蓝本，通过求解资金数目为目标函数的递推模型，经一次简化为以最大开矿次数为主目标函数、最大开矿次数下最小资源消耗量为辅目标函数的模型。运用仿真、逆推等方式，还原了这一游戏过程。
关键词：图论；最短路径；数学期望；计算机仿真；线性规划
引言：
沙漠掘金适用于培养个人经营能力和团队合作能力。在单人模式中，该游戏着重于培养个人的筹划判别能力，并促使挑战者根据当前局势做出最有利的判断；一定程度下，可将玩家看作团队成员，资金看作团队绩效，水和食物看作运作成本，天气看作外部变幻的市场环境，路线可看作团队的经营思路。
在这个充满竞争、信息瞬间万变且庞大的时代，没有敏锐观察力或是出众能力的个人很容易在他人的掌股中陷入深渊，同时，己方团队的合作和信息共享非常重要。团队是介于组织与团体之间的一种合作方式，高绩效的团队是当今发展日新月异的社会所必需的，只注重个人能力而没有有效团队合作的企业，在竞争日益加剧的今天已无生命力，只有靠团队的协调默契形成的强大的团队才能在未来的竞争中立于不败之地。
所以，身为团队中的个人，我们期待能理解并排定资源的优先与价值，包括那些不易而见的时间信息等，然后投资时间制定好的战略会增加正确选择的几率。最后设法驾驭环境，不然会被其影响和控制。
1.问题的重述
玩家凭借地图利用初始资金购买一定数量不超过自身负重能力的水和食物，从起点出发，在沙漠中行走。途中会遇到不同的天气，也可在矿山、村庄补充资金或资源，我们的目标是控制玩家在规定时间内到达终点，并保留尽可能多的资金。题目中设置了不同情况下的游戏规则。
我们建立了数学模型，并解决下列问题：
玩家已知全部天气状态，做出一般情况下一名玩家最优策略。
2.模型的假设
提出六点如下假设：
假设在沙漠中每一天内天气恒定不发生变化；
假设沙漠以外区域不会对沙漠内部产生影响；
假设村庄不接受赊账、借贷等非公平交易行为；
假设玩家在沙漠中除村庄购买外无法通过其他方式获取水和食品；
假设玩家之间的物资无法共享；
假设玩家在沙漠中无其他特殊事件发生。
符号说明
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*注：其余符号详见文中说明，重复出现符号以出现处说明为准
3.分析
需要我们在已知30天内天气情况的基础上，制定一个行动方案，使得能在30天内达到终点且尽可能保留最多的资金。通过构造各区域之间的邻接矩阵，并运用图论的相关知识可以将原地图化简为仅保留功能点的有向图。根据对有向图进行初步分析和对该游戏的初步探索。
3.1信息的简化整合
对地图的简化：
首先给出功能点的定义：将起点、终点以及可以触发特殊事件的村庄、矿山称为功能点。
运用matlab软件我们可以求解得到各功能点之间的最短路径如下表所示：
表1 各功能点之间的最短路径
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运用图论的相关知识，将其他功能点优先作为各功能点之间的最短路径中的途径点（假定终点27不可以作为途径点），可以将地图化简为如下图所示的有向图：
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图1 地图的有向图简化
资源消耗信息的整合：
为了后续文章表达形式简便，下表物资以kg为单位、资金以元为单位列出不同天气状况下不同的活动状态对资源的消耗（注：资金消耗一栏以物资在村庄的购买价格为准）：
表2 资源消耗一览表
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3.2模型的建立
目标函数的确定
由题意，需要在能够达到终点的情况下使末资金达到最大值，由于本题我们在保证存活并达到终点的条件下讨论，故目标函数可以直接写为：
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其中
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，式中
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分别为水和食物在出发点的购买资金消耗总量，
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分别为水和食物在村庄的购买资金消耗总量。
考虑到在方案②③研究过程中程序编写的复杂度，我们稍微放宽了对目标函数的要求，近似等价改写为以最大挖矿次数为主目标函数、以最大挖矿次数下的最小物资消耗量折合资金为辅目标函数的方式。
主目标函数表达如下：
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辅目标函数表达如下：
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约束条件的确定：
经过我们团队的初步计算，在购买物资时资金不会出现匮乏的情况，故在该部分约束中不再加入对资金的约束条件。
负重的约束：
每一天资源的剩余量（包括购买后资源的剩余量）质量总和不应超过负重，用数学语言可表示如下：
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资源剩余量的约束
每一天末资源剩余量应不少于0，即当天资源能够满足当天活动的需要，用数学语言可表示如下：
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3.3模型的求解
“出发点1→终点27”求解
由于从出发点1到终点27最短路径为3，且第4天将有沙暴天气，故最优解为前三天直达终点，资源的购买仅需满足这三天的行走需要。求解结果如下表：
表3资源购买结果展示
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的行程情况如下表：
表4行程结果展示
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4．模型的优点与推广
模型的优点：
本文种涉及的模型涉及面大、创造性强，其中的最小路径算法、数学期望方程、线性规划模型涉及到了图论、概率论、运筹学等多个数学分支。
模型的推广：
通过简单地改变一些参数，本模型可以很好地运用于相同类型益智游戏的求解，也可以基于本模型进行一些简单的软件工具和单机游戏的开发。此外，利用线性规划求解最优解及条件最优解的方式在商界、政界的经济交流中有广泛地适应性。
参考文献：
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作者简介：
季春瑜（1999--），女，江苏省人，天津工业大学数学科学学院数学与应用数学专业，本科生，研究方向：数学与应用数学，已发表论文3篇。