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整合和巧用数量关系提高解决问题的能力

发表时间：2021/7/28 来源：《比较教育研究》2021年7月作者：周国琼

[导读]

周国琼四川省宜宾市人民路小学校
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2021）07-181-01

        数学是探究数量关系与空间形式的科学，可见数量关系的教学在整个数学学习中的重要性，尤其在小学复习阶段，更需要老师带领学生对整个小学阶段的数量关系进行一个整合，这样的安排，有助于学生形成系统的认知，架建起数量与数量之间的桥梁，构建清晰的数量关系模型，加上老师有意识地培养学生利用数量关系解决问题的意识，始终把对数量关系的分析摆在解决问题的第一位，长期下来，就能使学生快速准确地把握数量关系，提高学生分析问题解决问题的能力。
        在实际教学中，我们不难发现，有些学生在做除法问题时，总会错误的用乘法解决，对于老师们经常讲的对应的量除以对应的倍数或分率等于单位1的量，总是不能理解，于是这样一个看似简单的问题，在学生没有理清甚至不能理清数量关系的情况下，变得很难，不能正确地做出解答。可见部分学生对数量关系的感觉很模糊，这就急需我们老师对数量关系进行整合，突出知识间的联系，帮助学生建立起数量关系模型，提高解决问题的效率。
        小学数学阶段又有哪些数量关系，这些数量关系究竟存在着怎样的共性，需要我们老师对整个小学阶段的数量关系有一个系统的了解与分析，才能做到科学合理地整合。说到底小学数学中的数量关系大致有两类：一是和差关系，二是倍比关系，而其他的关系只不过是在此基础上的演变。下面我就此谈一谈数量关系的整合以及这两类关系各自的共性特点和具体存在的情境，以便在实际教学中能科学有效地展开教学，更利于学生有效地建模和轻松地解决问题。
        一、和差关系
        1、特征。已知两个数的和与两个数的差，其原型是求和与求一个数比另一个数多多少、少多少的问题，这些数量与数量之间的关系都是和差关系。而演变后的和差关系问题就是已知和与差及其中一个数，求另一个数问题，具体解决起来还是利用和与差的关系。其原始模型是：一个数+另一个数=和，一个数-另一个数=差，无论哪个数是未知的，都可依此模型来解决问题，通过原始模型寻找解决问题的方法。
        2、具体情境分析。
        例题1展示：小明和妈妈今年一共有39岁，其中妈妈今年的年龄是28岁，小明今年几岁？解析：这类问题是和的关系问题，利用和的关系原始模型可以得到妈妈的年龄+小明的年龄=总年龄，而其中小明的年龄是未知的，如果用问号表示小明的年龄，也就是28+？=39，要求小明的年龄，需要把总年龄减去妈妈的年龄，即和-加数=另一个加数。
        例题2展示：学生甲这次期中考试考了100分，他比学生乙多考了12分，学生乙这次期中考试考了多少分？解析：这类问题是差的关系问题，利用差的关系原始模型可以得到学生甲的成绩-学生乙的成绩=12分，也就是100-（？）=12，要想求出李小冉的成绩，就需要把100-12，即被减数-差=减数。
        例题3展示：学生乙这次期中考试考了88分，他比学生甲少考了12分，学生甲这次期中考试考了多少分？解析：这类问题也是差的关系问题，利用差的关系原始模型可以得到学生甲的成绩-学生乙的成绩=12分，也就是（？）-88=12，要想求出学生甲的成绩，就需要把88+12，即减数+差=被减数。
        二、倍比关系
        3、特征。
        （1）倍数关系：数量与数量之间存在着一个量是另一个量的几倍的关系，其原型是求一个数的几倍是多少的问题，这些数量与数量之间的关系都是倍数关系，它的原始模型是：一个量×倍数=另一个量。而演变后的倍数关系问题有已知一个数的几倍是多少，求这个数，即一个量（未知）×倍数=另一个量（已知），具体解决起来仍是利用倍数关系来解决，都可以通过倍数关系找到解决问题的方法。
        4、具体情境分析。例题4展示：东东和丽丽十分喜爱集邮活动，东东集得的邮票数有42张，正好是丽丽的3倍，丽丽集了多少张？解析：由倍数关系模型可以得到丽丽的邮票数×3=东东的邮票数，也就是？×3=42，弄清了数量关系，像这类倍数关系问题就不难解决，3个多少是42，想乘算除也好，平均分也好，要想求出丽丽的邮票数，就要把42÷3，即积÷因数=另一个因数。如果这道题是已知了丽丽的邮票数，倍数关系不变，就可以利用倍数关系直接用乘法解决。至于倍数是小数和分数的情况，与倍数是整数的情况解决方法是一样的。
        （2）分率或百分率关系：
        5、特征。数量与数量之间存在着一个量是另一个量的几分之几或百分之几的关系，其原型是求一个数的几分之几或百分之几是多少的问题，这些数量与数量之间的关系都是分率关系，它的原始模型是：单位“1”的量×几分之几或百分之几=另一个量。而演变后的分率关系问题有已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数的问题，即单位“1”的量（未知）×几分之几或百分之几=另一个量（已知），具体解决起来仍是利用分率关系来解决，可以通过分率关系找到解决问题的方法。
        6、具体情境分析。求一个数的几分之几或百分之几是多少。例题5展示：一件上衣的价钱是155元，一件裤子的价钱是上衣价钱的4／5。

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一件裤子多少钱？改成百分率问题就是：一件上衣的价钱是155元，一件裤子的价钱是上衣价钱的80％。一件裤子多少钱？解析：像这类问题完全可以依据分率关系直接解决，把上衣的价钱（单位“1”的量）×4／5（80％）=裤子的价钱。
        解析：由分率关系模型可以得到上衣的价钱（单位“1”的量）×4／5（80％）=裤子的价钱，也就是？×4／5（80％）=124，弄清了数量关系，像这类问题也就不难解决了，如果设上衣的价钱是x元，依据数量关系可列出方程4／5（80％）x=124，再根据等式的性质等式两边同时除以4／5（80％），就可以得到求解x的方法，即x=124÷4／5（80％），由此我们也能从中提炼出解决这个问题的算术方法：对应的量÷对应的分率=单位“1” 的量。对于稍复杂的比一个数多（少）几分之几（百分之几）是多少，求这个数的问题，可以采取将复杂的分率关系转化成简单的分率关系来解决。
        （3）名数改写：
        7、特征。
        名数改写涉及到一类关系，即倍比关系，也就是单位之间的进率问题，既有倍数关系的情况，又有分率关系的情况，这要看是高级单位的名数化低级单位的名数，还是低级单位的名数化高级单位的名数，高级单位的名数化低级单位的名数，数变大；低级单位的名数化高级单位的名数，数变小，这两种情况里既有倍数问题又有分率问题。
        8、具体情境分析。
        高级单位化低级单位例谈：1.7米=（）厘米
        解析：因为1米=100厘米，问题的实质是求1.7个100厘米是多少，也就是求100厘米的1.7倍是多少，这是一个倍数问题，解决方法是将高级单位的名数乘以进率。
        0．7米=（）厘米
        解析：同样因为1米=100厘米，把0.7米化成以厘米作单位，实际就是求100厘米的十分之七是多少，这是一个分率问题，解决方法也可以是将高级单位的名数乘以进率。
        低级单位化高级单位例谈：
        5700克=（）千克
        解析：因为1千克=1000克，问题的实质是求5700克里有几个1000克，也就是求5700克是1000克的几倍问题，这是一个倍数问题，解决方法可以是将低级单位的名数除以进率。
        450克=（）千克
        解析：同样因为1千克=1000克，而450克不足1000克，就要看450克是1000克的几分之几，而在实际教学中四年级学生还没有学习分率的经历，所以也可以看成是求450克里有几个1000克，利用包含除法就可以找到解决问题的方法，即将低级单位的名数除以进率。
        （4）特殊的倍比关系：
        9、特征。
        其实这类问题是倍比关系的特殊形式，既有倍数关系的情况，又有分率关系的情况，具体看情境分析。
        10、具体情景分析：
        工程问题例谈：东风服装厂每天可以生产1500套西服，半天生产多少套西服？三天生产多少套西服？这是一个工程问题，半天的工作总量既可以看成是求1500套西服的二分之一是多少（1500×1/2），也可以看成是求1500套西服的十分之五是多少（1500×0.5），这样就可以利用分率关系来解决。而3天的工作总量可以看成是求3个1500套是多少，也就是求1500套的3倍是多少，可以利用倍数关系来解决。所以这类问题可以理解为倍比关系问题，它的原始模型是：工作效率×工作时间=工作总量，至于求工作效率和工作时间的问题，完全可以利用这一模型相机解决。
        行程问题例谈：小芳骑自行车去外婆家，每小时骑3.5千米，她半小时骑多少千米？2.5小时骑多少千米？这是一个简单的行程问题，半小时骑多少千米可以理解为求3.5千米的二分之一或十分之五是多少，2.5小时骑多少千米可以理解为求3.5千米的2.5倍是多少。所以这类问题也是倍比关系问题，它的原始模型是：速度×时间=路程，当然这是较简单的行程问题，那些复杂的行程问题我们也可以利用倍比关系来展开研究，分析数量关系，合理解决问题，如，求速度可以采取路程÷时间，求时间可以采取路程÷速度，再如更复杂的相遇问题、追赶问题，也都可以通过倍比关系来分析和解决。
        价格问题例谈：价格问题也是倍比关系问题，如小丽跟妈妈到菜市场买菜，妈妈准备为一家人加餐，准备买一些牛肉，牛肉的价格是每斤48元，小丽想：0.8斤多少元？1.4斤又是多少元？0.8斤多少元其实就是求48元的十分之八是多少，而1.4斤又是多少元是求48元的1.4倍是多少。价格问题的数量关系原始模型是单价×数量=总价，其它的根据总价与数量求单价，以及根据总价与单价求数量的问题，都可以依据上面的数量关系模型来推导解决。
        综上所述，小学阶段的数量关系可以整合为这两类，即和差关系与倍比关系，任何复杂的问题都可以依据这两种关系来展开分析与研究，达到解决问题的目的。