曾浩
重庆市求精中学校 邮编:400015
向量具有“数”和“形”的双重优势，常与三角形相关知识点相交。以向量方法解决三角形“四心”问题（即重心、垂心、内心、外心）的题目是频频出现在各个考试中。大家也应该都知道，平面向量和解三角形这两部分知识是各有各的特点，因此在解决这类问题的时候也会有多种方法。我们经常采用的方法是寻找组成向量的回路或基向量帮助我们解决问题。但许多的时候在看似相对单一的题目中，采取单一的相关知识与方案，往往使一些本来比较简单的问题变成了复杂。对于许多平面向量和解三角形，都是有图形的，既有图，我们就可以采用“数形结合”的方式来求解。本文就结合近年来高考的发展趋势和近年来出现的三角形“四心”问题，利用向量法怎样更快速准确地求解三角形“四心”。下面我们总结一些解决方案。
1、三角形的“重心”
三角形的“重心”：三角形三条中线必交于一点，而该交点即为三角形的“重心”。三角形的“重心”肯定是在三角形的内部。三角形的“重心”到每个顶点的距离都是等于它到对这中点距离的两倍。
.png)
【分析】：事实上，易证：若G是△ABC的重心，则+ + = 0。可见：“G是△ABC的重心”是“+ + = 0”的充要条件，这是三角形的重心的向量表现形式，非常常见的题型。
2、三角形的“内心”
三角形三条内角平分线必交于一点，而该交点就为三角形的“内心”，也叫三角形的内切圆的圆心。同样，三角形的“内心”也肯定是在三角形的内部。
.png)
3、三角形的“外心”
三角形三条垂直平分线必交于一点，该交点即为三角形的“外心”，也叫三角形的外接圆的圆心。三角形的“外心”未心在三角的内部，比如锐角三角有的“外心”就在它的内部，直角三角形的“外心”反而在它斜边的中点上，钝角三角形的“外心”直接在外部。
.png)
4、三角形的“垂心”
三角形的三条高线必交于一点，该交点就为三角形的“垂心”。三角形的“垂心”未必都会在三角形的内部，比如锐角三角形的“垂心”在它的内部，直角三角形的“垂心”就在直角的顶点，而钝角三角形的“垂心”就在它的外部。
.png)
以上就是以三角形的“四心”为出发点，应用向量相关的知识，去巧妙的解决三角形四心所具备的一些特定的性质。从上面的例题中我们还可以看出，用向量法解决四心问题，无论是题目怎么样的变化，都是在围绕四心的定义来出题的，它们都是在没有规律中出现规律。只要我们弄通以上例题中的方法，对于这方面的知识准备充分，都是能对四心问题应付自如的。并且还可以在学习三角形四心的一些特定性质外，还能灵活的解决一些其他相关问题，节省解题时间。我们认为解题有法，解无定法，贵在得法。对于一个数学问题，需要我们学会抓住问题的材质来的解决。当然，对于一个数学问题，其解决方法可能是各种各样的，因为从不同的角度入手，就会有不同的解法，也就是说，一定的数学内容可以有多种存在的形式，但是数学本质就是始终不变的。余下的就需要我们如何的去进行相应的思考与适当的转化。
总结：向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，从思想方法上研究新内容的内涵实质，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，从而来培养学生运用向量解决问题的意识，并从中体会数学给我们带来的无限奥秘。